Номер 17.2, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.2. 1) $\log_{\frac{1}{8}}(x - 4) = -1;$

2) $\log_{2.5}(x + 2) = 1;$

3) $\lg x = -2;$

4) $\ln x = 1.$

1) Решим логарифмическое уравнение $ \log_{\frac{1}{3}}(x - 4) = -1 $.

По определению логарифма, равенство $ \log_b a = c $ эквивалентно равенству $ a = b^c $.

В данном случае основание $ b = \frac{1}{3} $, аргумент $ a = x - 4 $, а значение логарифма $ c = -1 $.

Применяя определение, получаем:$ x - 4 = (\frac{1}{3})^{-1} $

Вычисляем правую часть:$ (\frac{1}{3})^{-1} = 3 $

Подставляем значение обратно в уравнение:$ x - 4 = 3 $

$ x = 3 + 4 $

$ x = 7 $

Необходимо также учесть область допустимых значений (ОДЗ) логарифма. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:$ x - 4 > 0 $

$ x > 4 $

Найденный корень $ x = 7 $ удовлетворяет этому условию, так как $ 7 > 4 $.

Ответ: $7$

2) Решим уравнение $ \log_{2.5}(x + 2) = 1 $.

Используя определение логарифма ($ a = b^c $), где $ b = 2.5 $, $ a = x + 2 $ и $ c = 1 $, получаем:

$ x + 2 = 2.5^1 $

$ x + 2 = 2.5 $

Находим $ x $:$ x = 2.5 - 2 $

$ x = 0.5 $

Проверим ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен.$ x + 2 > 0 $

$ x > -2 $

Корень $ x = 0.5 $ удовлетворяет условию $ 0.5 > -2 $.

Ответ: $0.5$

3) Решим уравнение $ \lg x = -2 $.

Символ $ \lg $ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Таким образом, уравнение можно переписать в виде:$ \log_{10} x = -2 $

По определению логарифма:$ x = 10^{-2} $

$ x = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01 $

ОДЗ для данного уравнения: $ x > 0 $.

Найденный корень $ x = 0.01 $ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $0.01$

4) Решим уравнение $ \ln x = 1 $.

Символ $ \ln $ обозначает натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию $ e $ (число Эйлера, $ e \approx 2.718 $). Уравнение можно переписать как:$ \log_e x = 1 $

По определению логарифма:$ x = e^1 $

$ x = e $

ОДЗ для данного уравнения: $ x > 0 $.

Поскольку $ e > 0 $, найденный корень $ x = e $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $e$