Номер 16.11, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.11. 1) $\sqrt{3^{2x-54}} - 7 \cdot \sqrt{3^{x-38}} = 162;$

2) $5^{2x-1} + 4^x = 5^{2x} - 4^{x+1},$

3) $6^x + 6^{x+1} = 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2},$

4) $9^x - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1}.$

1) Исходное уравнение $ \sqrt{3^{9x-54}} - 7 \cdot \sqrt{3^{x-58}} = 162 $ в представленном виде не решается стандартными алгебраическими методами из-за различных выражений с переменной $x$ в показателях степеней. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка. Наиболее правдоподобное предположение, которое приводит к логичному решению, заключается в том, что во втором слагаемом в показателе степени вместо $x$ должно стоять $9x$. Тогда уравнение принимает вид: $ \sqrt{3^{9x-54}} - 7 \cdot \sqrt{3^{9x-58}} = 162 $. Решим его.

Представим корни как степени с дробным показателем: $ (3^{9x-54})^{1/2} - 7 \cdot (3^{9x-58})^{1/2} = 162 $.

Используя свойство степени $ (a^m)^n = a^{mn} $, упростим показатели:

$ 3^{\frac{9x-54}{2}} - 7 \cdot 3^{\frac{9x-58}{2}} = 162 $

$ 3^{4.5x-27} - 7 \cdot 3^{4.5x-29} = 162 $

Вынесем за скобки общий множитель $ 3^{4.5x-29} $ (степень с наименьшим показателем):

$ 3^{4.5x-29} \cdot (3^{(4.5x-27) - (4.5x-29)} - 7) = 162 $

$ 3^{4.5x-29} \cdot (3^{4.5x-27-4.5x+29} - 7) = 162 $

$ 3^{4.5x-29} \cdot (3^2 - 7) = 162 $

$ 3^{4.5x-29} \cdot (9 - 7) = 162 $

$ 3^{4.5x-29} \cdot 2 = 162 $

Разделим обе части на 2:

$ 3^{4.5x-29} = 81 $

Представим 81 как степень числа 3: $ 81 = 3^4 $.

$ 3^{4.5x-29} = 3^4 $

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$ 4.5x - 29 = 4 $

$ 4.5x = 33 $

$ x = \frac{33}{4.5} = \frac{33}{9/2} = \frac{33 \cdot 2}{9} = \frac{11 \cdot 2}{3} = \frac{22}{3} $

Ответ: $ x = \frac{22}{3} $.

2) $ 5^{2x-1} + 4^x = 5^{2x} - 4^{x+1} $

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:

$ 4^x + 4^{x+1} = 5^{2x} - 5^{2x-1} $

Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях:

$ 4^x \cdot (1 + 4^1) = 5^{2x-1} \cdot (5^1 - 1) $

$ 4^x \cdot 5 = 5^{2x-1} \cdot 4 $

Разделим обе части уравнения на 4 и на 5:

$ \frac{4^x}{4} = \frac{5^{2x-1}}{5} $

Используем свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ 4^{x-1} = 5^{(2x-1)-1} $

$ 4^{x-1} = 5^{2x-2} $

Представим $ 4 $ как $ 2^2 $ и показатель $ 2x-2 $ как $ 2(x-1) $:

$ (2^2)^{x-1} = 5^{2(x-1)} $

$ 2^{2(x-1)} = 5^{2(x-1)} $

Разделим обе части на $ 5^{2(x-1)} $ (это выражение всегда больше нуля):

$ \frac{2^{2(x-1)}}{5^{2(x-1)}} = 1 $

$ (\frac{2}{5})^{2(x-1)} = 1 $

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Следовательно, показатель степени должен быть равен нулю:

$ 2(x-1) = 0 $

$ x - 1 = 0 $

$ x = 1 $

Ответ: $ x = 1 $.

3) $ 6^x + 6^{x+1} = 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} $

Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях уравнения:

$ 6^x(1 + 6^1) = 2^x(1 + 2^1 + 2^2) $

$ 6^x(1 + 6) = 2^x(1 + 2 + 4) $

$ 7 \cdot 6^x = 7 \cdot 2^x $

Разделим обе части на 7:

$ 6^x = 2^x $

Разделим обе части на $ 2^x $ (так как $ 2^x > 0 $ для любого $x$):

$ \frac{6^x}{2^x} = 1 $

$ (\frac{6}{2})^x = 1 $

$ 3^x = 1 $

Представим 1 как $ 3^0 $:

$ 3^x = 3^0 $

$ x = 0 $

Ответ: $ x = 0 $.

4) $ 9^x - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1} $

Представим $ 9^x $ как $ (3^2)^x = 3^{2x} $.

$ 3^{2x} - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1} $

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$ 3^{2x} + 3^{2x-1} = 2^{x+3.5} + 2^{x+0.5} $

Вынесем общие множители за скобки в обеих частях:

$ 3^{2x-1}(3^1 + 1) = 2^{x+0.5}(2^3 + 1) $

$ 3^{2x-1}(4) = 2^{x+0.5}(8 + 1) $

$ 4 \cdot 3^{2x-1} = 9 \cdot 2^{x+0.5} $

Представим 4 как $ 2^2 $ и 9 как $ 3^2 $:

$ 2^2 \cdot 3^{2x-1} = 3^2 \cdot 2^{x+0.5} $

Разделим обе части на $ 3^2 $ и на $ 2^{x+0.5} $:

$ \frac{2^2}{2^{x+0.5}} = \frac{3^2}{3^{2x-1}} $

Используем свойство $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ 2^{2 - (x+0.5)} = 3^{2 - (2x-1)} $

$ 2^{2 - x - 0.5} = 3^{2 - 2x + 1} $

$ 2^{1.5 - x} = 3^{3 - 2x} $

Заметим, что $ 3 - 2x = 2(1.5 - x) $. Перепишем уравнение:

$ 2^{1.5 - x} = 3^{2(1.5 - x)} $

$ 2^{1.5 - x} = (3^2)^{1.5 - x} $

$ 2^{1.5 - x} = 9^{1.5 - x} $

Разделим обе части на $ 9^{1.5 - x} $:

$ \frac{2^{1.5 - x}}{9^{1.5 - x}} = 1 $

$ (\frac{2}{9})^{1.5 - x} = 1 $

Показатель степени должен быть равен нулю:

$ 1.5 - x = 0 $

$ x = 1.5 $

Ответ: $ x = 1.5 $.