Страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.9. 1)

$\begin{cases} 4^{x+y} = 16, \\ 4^{x+2y-1} = 1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 6^{2x-y} = \sqrt{6}, \\ 2^{y-2x} = \frac{1}{\sqrt{2}}; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 5^{2x+y} = 125, \\ 7^{3x-2y} = 7; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 3^{4x-3y} = 27\sqrt{3}, \\ 2^{4y+x} = \frac{1}{2\sqrt{2}}. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4^{x+y} = 16 \\ 4^{x+2y-1} = 1 \end{cases} $

Представим правые части уравнений в виде степеней с основанием 4. Известно, что $16 = 4^2$ и $1 = 4^0$.

Подставив эти значения, получим систему:

$ \begin{cases} 4^{x+y} = 4^2 \\ 4^{x+2y-1} = 4^0 \end{cases} $

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели. Это приводит к системе линейных уравнений:

$ \begin{cases} x+y = 2 \\ x+2y-1 = 0 \end{cases} $

Упростим второе уравнение, перенеся -1 в правую часть:

$ \begin{cases} x+y = 2 \\ x+2y = 1 \end{cases} $

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:

$(x+2y) - (x+y) = 1 - 2$

$x+2y-x-y = -1$

$y = -1$

Теперь подставим найденное значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x + (-1) = 2$

$x = 2 + 1$

$x = 3$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(3; -1)$.

Ответ: $(3; -1)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 6^{2x-y} = \sqrt{6} \\ 2^{y-2x} = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} $

Приведем правые части уравнений к степеням с основаниями 6 и 2 соответственно.

$\sqrt{6} = 6^{1/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{1/2}} = 2^{-1/2}$

Система принимает вид:

$ \begin{cases} 6^{2x-y} = 6^{1/2} \\ 2^{y-2x} = 2^{-1/2} \end{cases} $

Приравняем показатели степеней в каждом уравнении:

$ \begin{cases} 2x-y = \frac{1}{2} \\ y-2x = -\frac{1}{2} \end{cases} $

Рассмотрим второе уравнение: $y-2x = -\frac{1}{2}$. Умножим обе части на -1:

$-(y-2x) = -(-\frac{1}{2})$

$-y+2x = \frac{1}{2}$

$2x-y = \frac{1}{2}$

Это уравнение полностью совпадает с первым уравнением системы. Это означает, что система является линейно зависимой и имеет бесконечное множество решений. Все решения лежат на прямой, заданной уравнением $2x-y = \frac{1}{2}$.

Выразим $y$ через $x$: $y = 2x - \frac{1}{2}$.

Ответ: система имеет бесконечное множество решений вида $(t; 2t - \frac{1}{2})$, где $t$ — любое действительное число.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5^{2x+y} = 125 \\ 7^{3x-2y} = 7 \end{cases} $

Представим правые части уравнений в виде степеней с основаниями 5 и 7:

$125 = 5^3$

$7 = 7^1$

Система преобразуется к виду:

$ \begin{cases} 5^{2x+y} = 5^3 \\ 7^{3x-2y} = 7^1 \end{cases} $

Приравнивая показатели степеней, получаем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 2x+y = 3 \\ 3x-2y = 1 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 3 - 2x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3x - 2(3 - 2x) = 1$

$3x - 6 + 4x = 1$

$7x = 7$

$x = 1$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=1$ в выражение для $y$:

$y = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1$

Решение системы — пара чисел $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^{4x-3y} = 27\sqrt{3} \\ 2^{4y+x} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \end{cases} $

Представим правые части уравнений в виде степеней с основаниями 3 и 2.

Для первого уравнения: $27\sqrt{3} = 3^3 \cdot 3^{1/2} = 3^{3 + 1/2} = 3^{7/2}$.

Для второго уравнения: $\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2^1 \cdot 2^{1/2}} = \frac{1}{2^{1 + 1/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}$.

Система уравнений принимает вид:

$ \begin{cases} 3^{4x-3y} = 3^{7/2} \\ 2^{x+4y} = 2^{-3/2} \end{cases} $

Приравняем показатели степеней:

$ \begin{cases} 4x-3y = \frac{7}{2} \\ x+4y = -\frac{3}{2} \end{cases} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим оба уравнения на 2:

$ \begin{cases} 8x-6y = 7 \\ 2x+8y = -3 \end{cases} $

Решим систему. Из второго уравнения выразим $2x$: $2x = -3 - 8y$.

Тогда $8x = 4 \cdot (2x) = 4(-3 - 8y) = -12 - 32y$.

Подставим это выражение для $8x$ в первое уравнение:

$(-12 - 32y) - 6y = 7$

$-12 - 38y = 7$

$-38y = 19$

$y = -\frac{19}{38} = -\frac{1}{2}$

Найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $2x = -3 - 8y$:

$2x = -3 - 8(-\frac{1}{2})$

$2x = -3 + 4$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Решение системы — пара чисел $(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})$.

Решите уравнения (16.10–16.14):

16.10. 1) $2^{x^2-6x+0.5} = \frac{1}{16\sqrt{2}};$

2) $16\sqrt[5]{8^{x^2-3x-5}} = 128;$

3) $\left(\frac{9}{16}\right)^{x+1} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{2x^2+5x} = \left(\frac{64}{27}\right)^3;$

4) $3^{x+1} \cdot 4^x = 0.25 \cdot 12^{3x-1}.$

1) $2^{x^2 - 6x + 0,5} = \frac{1}{16\sqrt{2}}$

Приведем обе части уравнения к основанию 2. Правая часть:

$16\sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{4+0,5} = 2^{4,5}$

Следовательно, $\frac{1}{16\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{4,5}} = 2^{-4,5}$.

Теперь уравнение имеет вид:

$2^{x^2 - 6x + 0,5} = 2^{-4,5}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x^2 - 6x + 0,5 = -4,5$

$x^2 - 6x + 0,5 + 4,5 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Корни уравнения:

$x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Ответ: 1; 5.

2) $16\sqrt[5]{8^{x^2 - 3x - 5}} = 128$

Приведем все множители к основанию 2:

$16 = 2^4$

$8 = 2^3$

$128 = 2^7$

Подставим эти значения в уравнение:

$2^4 \cdot \sqrt[5]{(2^3)^{x^2 - 3x - 5}} = 2^7$

Используем свойства степеней ($\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$2^4 \cdot (2^3)^{\frac{x^2 - 3x - 5}{5}} = 2^7$

$2^4 \cdot 2^{\frac{3(x^2 - 3x - 5)}{5}} = 2^7$

$2^{4 + \frac{3x^2 - 9x - 15}{5}} = 2^7$

Приравниваем показатели степеней:

$4 + \frac{3x^2 - 9x - 15}{5} = 7$

$\frac{3x^2 - 9x - 15}{5} = 3$

$3x^2 - 9x - 15 = 15$

$3x^2 - 9x - 30 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -10. Корни уравнения:

$x_1 = 5$, $x_2 = -2$.

Ответ: -2; 5.

3) $(\frac{9}{16})^{x+1} \cdot (\frac{4}{3})^{2x^2+5x} = (\frac{64}{27})^3$

Приведем все основания к одному, например, к $\frac{4}{3}$:

$\frac{9}{16} = (\frac{3}{4})^2 = ((\frac{4}{3})^{-1})^2 = (\frac{4}{3})^{-2}$

$\frac{64}{27} = (\frac{4}{3})^3$

Подставляем в исходное уравнение:

$((\frac{4}{3})^{-2})^{x+1} \cdot (\frac{4}{3})^{2x^2+5x} = ((\frac{4}{3})^3)^3$

Упрощаем, используя свойства степеней:

$(\frac{4}{3})^{-2(x+1)} \cdot (\frac{4}{3})^{2x^2+5x} = (\frac{4}{3})^{9}$

$(\frac{4}{3})^{-2x - 2 + 2x^2 + 5x} = (\frac{4}{3})^{9}$

$(\frac{4}{3})^{2x^2 + 3x - 2} = (\frac{4}{3})^{9}$

Приравниваем показатели степеней:

$2x^2 + 3x - 2 = 9$

$2x^2 + 3x - 11 = 0$

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 9 + 88 = 97$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{97}}{4}$

Ответ: $\frac{-3 - \sqrt{97}}{4}$; $\frac{-3 + \sqrt{97}}{4}$.

4) $3^{x+1} \cdot 4^x = 0,25 \cdot 12^{3x-1}$

Преобразуем уравнение, используя общие основания. Заметим, что $12 = 3 \cdot 4$ и $0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$.

Преобразуем левую часть:

$3^{x+1} \cdot 4^x = 3 \cdot 3^x \cdot 4^x = 3 \cdot (3 \cdot 4)^x = 3 \cdot 12^x$

Подставим все в уравнение:

$3 \cdot 12^x = 4^{-1} \cdot 12^{3x-1}$

Соберем степени с основанием 12 в одной части уравнения, а числовые коэффициенты в другой:

$\frac{12^x}{12^{3x-1}} = \frac{4^{-1}}{3}$

$12^{x - (3x - 1)} = \frac{1}{4 \cdot 3}$

$12^{-2x + 1} = \frac{1}{12}$

$12^{-2x + 1} = 12^{-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$-2x + 1 = -1$

$-2x = -2$

$x = 1$

Ответ: 1.

16.11. 1) $\sqrt{3^{2x-54}} - 7 \cdot \sqrt{3^{x-38}} = 162;$

2) $5^{2x-1} + 4^x = 5^{2x} - 4^{x+1},$

3) $6^x + 6^{x+1} = 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2},$

4) $9^x - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1}.$

1) Исходное уравнение $ \sqrt{3^{9x-54}} - 7 \cdot \sqrt{3^{x-58}} = 162 $ в представленном виде не решается стандартными алгебраическими методами из-за различных выражений с переменной $x$ в показателях степеней. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка. Наиболее правдоподобное предположение, которое приводит к логичному решению, заключается в том, что во втором слагаемом в показателе степени вместо $x$ должно стоять $9x$. Тогда уравнение принимает вид: $ \sqrt{3^{9x-54}} - 7 \cdot \sqrt{3^{9x-58}} = 162 $. Решим его.

Представим корни как степени с дробным показателем: $ (3^{9x-54})^{1/2} - 7 \cdot (3^{9x-58})^{1/2} = 162 $.

Используя свойство степени $ (a^m)^n = a^{mn} $, упростим показатели:

$ 3^{\frac{9x-54}{2}} - 7 \cdot 3^{\frac{9x-58}{2}} = 162 $

$ 3^{4.5x-27} - 7 \cdot 3^{4.5x-29} = 162 $

Вынесем за скобки общий множитель $ 3^{4.5x-29} $ (степень с наименьшим показателем):

$ 3^{4.5x-29} \cdot (3^{(4.5x-27) - (4.5x-29)} - 7) = 162 $

$ 3^{4.5x-29} \cdot (3^{4.5x-27-4.5x+29} - 7) = 162 $

$ 3^{4.5x-29} \cdot (3^2 - 7) = 162 $

$ 3^{4.5x-29} \cdot (9 - 7) = 162 $

$ 3^{4.5x-29} \cdot 2 = 162 $

Разделим обе части на 2:

$ 3^{4.5x-29} = 81 $

Представим 81 как степень числа 3: $ 81 = 3^4 $.

$ 3^{4.5x-29} = 3^4 $

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$ 4.5x - 29 = 4 $

$ 4.5x = 33 $

$ x = \frac{33}{4.5} = \frac{33}{9/2} = \frac{33 \cdot 2}{9} = \frac{11 \cdot 2}{3} = \frac{22}{3} $

Ответ: $ x = \frac{22}{3} $.

2) $ 5^{2x-1} + 4^x = 5^{2x} - 4^{x+1} $

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:

$ 4^x + 4^{x+1} = 5^{2x} - 5^{2x-1} $

Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях:

$ 4^x \cdot (1 + 4^1) = 5^{2x-1} \cdot (5^1 - 1) $

$ 4^x \cdot 5 = 5^{2x-1} \cdot 4 $

Разделим обе части уравнения на 4 и на 5:

$ \frac{4^x}{4} = \frac{5^{2x-1}}{5} $

Используем свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ 4^{x-1} = 5^{(2x-1)-1} $

$ 4^{x-1} = 5^{2x-2} $

Представим $ 4 $ как $ 2^2 $ и показатель $ 2x-2 $ как $ 2(x-1) $:

$ (2^2)^{x-1} = 5^{2(x-1)} $

$ 2^{2(x-1)} = 5^{2(x-1)} $

Разделим обе части на $ 5^{2(x-1)} $ (это выражение всегда больше нуля):

$ \frac{2^{2(x-1)}}{5^{2(x-1)}} = 1 $

$ (\frac{2}{5})^{2(x-1)} = 1 $

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Следовательно, показатель степени должен быть равен нулю:

$ 2(x-1) = 0 $

$ x - 1 = 0 $

$ x = 1 $

Ответ: $ x = 1 $.

3) $ 6^x + 6^{x+1} = 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} $

Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях уравнения:

$ 6^x(1 + 6^1) = 2^x(1 + 2^1 + 2^2) $

$ 6^x(1 + 6) = 2^x(1 + 2 + 4) $

$ 7 \cdot 6^x = 7 \cdot 2^x $

Разделим обе части на 7:

$ 6^x = 2^x $

Разделим обе части на $ 2^x $ (так как $ 2^x > 0 $ для любого $x$):

$ \frac{6^x}{2^x} = 1 $

$ (\frac{6}{2})^x = 1 $

$ 3^x = 1 $

Представим 1 как $ 3^0 $:

$ 3^x = 3^0 $

$ x = 0 $

Ответ: $ x = 0 $.

4) $ 9^x - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1} $

Представим $ 9^x $ как $ (3^2)^x = 3^{2x} $.

$ 3^{2x} - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1} $

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$ 3^{2x} + 3^{2x-1} = 2^{x+3.5} + 2^{x+0.5} $

Вынесем общие множители за скобки в обеих частях:

$ 3^{2x-1}(3^1 + 1) = 2^{x+0.5}(2^3 + 1) $

$ 3^{2x-1}(4) = 2^{x+0.5}(8 + 1) $

$ 4 \cdot 3^{2x-1} = 9 \cdot 2^{x+0.5} $

Представим 4 как $ 2^2 $ и 9 как $ 3^2 $:

$ 2^2 \cdot 3^{2x-1} = 3^2 \cdot 2^{x+0.5} $

Разделим обе части на $ 3^2 $ и на $ 2^{x+0.5} $:

$ \frac{2^2}{2^{x+0.5}} = \frac{3^2}{3^{2x-1}} $

Используем свойство $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ 2^{2 - (x+0.5)} = 3^{2 - (2x-1)} $

$ 2^{2 - x - 0.5} = 3^{2 - 2x + 1} $

$ 2^{1.5 - x} = 3^{3 - 2x} $

Заметим, что $ 3 - 2x = 2(1.5 - x) $. Перепишем уравнение:

$ 2^{1.5 - x} = 3^{2(1.5 - x)} $

$ 2^{1.5 - x} = (3^2)^{1.5 - x} $

$ 2^{1.5 - x} = 9^{1.5 - x} $

Разделим обе части на $ 9^{1.5 - x} $:

$ \frac{2^{1.5 - x}}{9^{1.5 - x}} = 1 $

$ (\frac{2}{9})^{1.5 - x} = 1 $

Показатель степени должен быть равен нулю:

$ 1.5 - x = 0 $

$ x = 1.5 $

Ответ: $ x = 1.5 $.

16.12. 1) $5^{x-3} - 5^{x-4} = 16 \cdot 5^{x-5} + 4;$

2) $4^x - 3^{x-0.5} = 3^{x+0.5} - 2^{2x-1};$

3) $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2};$

4) $5^{2x} - 7^x - 35 \cdot 5^{2x} + 35 \cdot 7^x = 0.$

1)Дано уравнение: $5^{x-3} - 5^{x-4} = 16 \cdot 5^{x-5} + 4$.Воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $5^{x-5}$.Представим каждый член уравнения через $5^{x-5}$:$5^{x-3} = 5^{(x-5)+2} = 5^{x-5} \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^{x-5}$$5^{x-4} = 5^{(x-5)+1} = 5^{x-5} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{x-5}$Подставим эти выражения в исходное уравнение:$25 \cdot 5^{x-5} - 5 \cdot 5^{x-5} = 16 \cdot 5^{x-5} + 4$Перенесем все слагаемые с $5^{x-5}$ в левую часть уравнения:$25 \cdot 5^{x-5} - 5 \cdot 5^{x-5} - 16 \cdot 5^{x-5} = 4$Вынесем $5^{x-5}$ за скобки:$5^{x-5} \cdot (25 - 5 - 16) = 4$$5^{x-5} \cdot 4 = 4$Разделим обе части на 4:$5^{x-5} = 1$Так как любое число в степени 0 равно 1, запишем 1 как $5^0$:$5^{x-5} = 5^0$Приравниваем показатели степеней:$x - 5 = 0$$x = 5$

Ответ: $x=5$.

2)Дано уравнение: $4^x - 3^{x-0.5} = 3^{x+0.5} - 2^{2x-1}$.Преобразуем степени, чтобы привести их к одинаковым основаниям: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$.Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями. Перенесем все члены с основанием 2 в левую часть, а с основанием 3 - в правую:$2^{2x} + 2^{2x-1} = 3^{x+0.5} + 3^{x-0.5}$Вынесем за скобки общие множители с наименьшей степенью:$2^{2x-1}(2^1 + 1) = 3^{x-0.5}(3^1 + 1)$Упростим выражения в скобках:$2^{2x-1} \cdot 3 = 3^{x-0.5} \cdot 4$Используем свойства степеней:$\frac{2^{2x}}{2} \cdot 3 = \frac{3^x}{3^{0.5}} \cdot 4$$\frac{4^x}{2} \cdot 3 = \frac{3^x}{\sqrt{3}} \cdot 4$Разделим переменные. Перенесем $3^x$ влево, а константы вправо:$\frac{4^x}{3^x} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3}$$(\frac{4}{3})^x = \frac{8}{3\sqrt{3}}$Представим правую часть как степень с основанием $\frac{4}{3}$:$\frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{2^3}{3^{1} \cdot 3^{1/2}} = \frac{2^3}{3^{3/2}} = \frac{(2^2)^{3/2}}{3^{3/2}} = \frac{4^{3/2}}{3^{3/2}} = (\frac{4}{3})^{3/2}$Получаем уравнение:$(\frac{4}{3})^x = (\frac{4}{3})^{3/2}$Приравниваем показатели степеней:$x = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $x=1.5$.

3)Дано уравнение: $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2}$.Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями. Перенесем все члены с основанием 2 в левую часть, а с основанием 3 - в правую:$2^{x^2-1} + 2^{x^2+2} = 3^{x^2-1} + 3^{x^2}$Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем для каждой из частей:В левой части вынесем $2^{x^2-1}$: $2^{x^2+2} = 2^{(x^2-1)+3} = 2^{x^2-1} \cdot 2^3$.В правой части вынесем $3^{x^2-1}$: $3^{x^2} = 3^{(x^2-1)+1} = 3^{x^2-1} \cdot 3^1$.$2^{x^2-1} (1 + 2^3) = 3^{x^2-1} (1 + 3^1)$Упростим выражения в скобках:$2^{x^2-1} \cdot (1 + 8) = 3^{x^2-1} \cdot (1 + 3)$$2^{x^2-1} \cdot 9 = 3^{x^2-1} \cdot 4$Разделим переменные:$\frac{2^{x^2-1}}{3^{x^2-1}} = \frac{4}{9}$$(\frac{2}{3})^{x^2-1} = (\frac{2}{3})^2$Приравниваем показатели степеней:$x^2 - 1 = 2$$x^2 = 3$Извлекаем квадратный корень:$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x = \pm\sqrt{3}$.

4)Дано уравнение: $5^{2x} - 7^x - 35 \cdot 5^{2x} + 35 \cdot 7^x = 0$.Сгруппируем слагаемые с одинаковыми показательными функциями:$(5^{2x} - 35 \cdot 5^{2x}) + (35 \cdot 7^x - 7^x) = 0$Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:$5^{2x}(1 - 35) + 7^x(35 - 1) = 0$$5^{2x}(-34) + 7^x(34) = 0$Перенесем одно из слагаемых в правую часть:$34 \cdot 7^x = 34 \cdot 5^{2x}$Разделим обе части уравнения на 34:$7^x = 5^{2x}$Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и преобразуем правую часть:$7^x = (5^2)^x$$7^x = 25^x$Разделим обе части на $7^x$ (это выражение всегда положительно и не равно нулю):$1 = \frac{25^x}{7^x}$$1 = (\frac{25}{7})^x$Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, то показатель степени должен быть равен нулю:$x = 0$

Ответ: $x=0$.

16.13. 1) $x \cdot 3^{x-1} + 3 \cdot 3^{\sqrt{6-x}} = 3^x + x \cdot 3^{\sqrt{6-x}}$;

2) $x^2 \cdot 4^{\sqrt{6-x}} = 16 \cdot 4^{\sqrt{6-x}}$;

3) $8^x + 18^x = 2 \cdot 27^x$;

4) $10^{1+x^2} - 10^{1-x^2} = 99.$

1) $x \cdot 3^{x-1} + 3 \cdot 3^{\sqrt{3}-x} = 3^x + x \cdot 3^{\sqrt{3}-x}$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x \cdot 3^{x-1} - 3^x + 3 \cdot 3^{\sqrt{3}-x} - x \cdot 3^{\sqrt{3}-x} = 0$

Сгруппируем слагаемые. Для первых двух слагаемых вынесем общий множитель $3^{x-1}$ (учитывая, что $3^x = 3 \cdot 3^{x-1}$):

$3^{x-1}(x - 3) + 3 \cdot 3^{\sqrt{3}-x} - x \cdot 3^{\sqrt{3}-x} = 0$

Для последних двух слагаемых вынесем общий множитель $3^{\sqrt{3}-x}$:

$3^{x-1}(x - 3) + 3^{\sqrt{3}-x}(3 - x) = 0$

Из второго слагаемого вынесем знак минус, чтобы получить общий множитель $(x-3)$:

$3^{x-1}(x - 3) - 3^{\sqrt{3}-x}(x - 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x-3)$ за скобки:

$(x - 3)(3^{x-1} - 3^{\sqrt{3}-x}) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $x - 3 = 0 \implies x = 3$

2. $3^{x-1} - 3^{\sqrt{3}-x} = 0 \implies 3^{x-1} = 3^{\sqrt{3}-x}$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$x - 1 = \sqrt{3} - x$

$2x = 1 + \sqrt{3}$

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$.

2) $x^2 \cdot 4^{\sqrt{6-x}} = 16 \cdot 4^{\sqrt{6-x}}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$6 - x \ge 0 \implies x \le 6$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^2 \cdot 4^{\sqrt{6-x}} - 16 \cdot 4^{\sqrt{6-x}} = 0$

Вынесем общий множитель $4^{\sqrt{6-x}}$ за скобки:

$(x^2 - 16) \cdot 4^{\sqrt{6-x}} = 0$

Так как показательная функция $4^{\sqrt{6-x}}$ всегда строго положительна ($4^{\sqrt{6-x}} > 0$), то равенство нулю возможно только если первый множитель равен нулю:

$x^2 - 16 = 0$

$x^2 = 16$

$x_1 = 4, x_2 = -4$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($4 \le 6$ и $-4 \le 6$).

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -4$.

3) $8^x + 18^x = 2 \cdot 27^x$

Представим основания степеней в виде произведений простых чисел:

$(2^3)^x + (2 \cdot 3^2)^x = 2 \cdot (3^3)^x$

$2^{3x} + 2^x \cdot 3^{2x} = 2 \cdot 3^{3x}$

Так как $27^x = 3^{3x} > 0$ при любом $x$, разделим обе части уравнения на $3^{3x}$:

$\frac{2^{3x}}{3^{3x}} + \frac{2^x \cdot 3^{2x}}{3^{3x}} = 2$

$(\frac{2}{3})^{3x} + \frac{2^x}{3^x} = 2$

$(\frac{2}{3})^{3x} + (\frac{2}{3})^x - 2 = 0$

Сделаем замену. Пусть $y = (\frac{2}{3})^x$. Так как основание степени положительно, то $y > 0$.

$y^3 + y - 2 = 0$

Подбором находим, что $y = 1$ является корнем уравнения: $1^3 + 1 - 2 = 0$.

Разделим многочлен $y^3 + y - 2$ на $(y-1)$:

$(y-1)(y^2 + y + 2) = 0$

Рассмотрим квадратное уравнение $y^2 + y + 2 = 0$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным решением для $y$ является $y = 1$.

Вернемся к замене:

$(\frac{2}{3})^x = 1$

$(\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^0$

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.

4) $10^{1+x^2} - 10^{1-x^2} = 99$

Используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем уравнение:

$10^1 \cdot 10^{x^2} - \frac{10^1}{10^{x^2}} = 99$

$10 \cdot 10^{x^2} - \frac{10}{10^{x^2}} = 99$

Сделаем замену. Пусть $y = 10^{x^2}$. Так как $x^2 \ge 0$, то $10^{x^2} \ge 10^0$, следовательно $y \ge 1$.

Подставляем $y$ в уравнение:

$10y - \frac{10}{y} = 99$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \ge 1$, то $y \neq 0$):

$10y^2 - 10 = 99y$

$10y^2 - 99y - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-99)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-10) = 9801 + 400 = 10201 = 101^2$

$y_1 = \frac{99 - 101}{2 \cdot 10} = \frac{-2}{20} = -0.1$

$y_2 = \frac{99 + 101}{2 \cdot 10} = \frac{200}{20} = 10$

Корень $y_1 = -0.1$ не удовлетворяет условию $y \ge 1$, поэтому он является посторонним.

Остается корень $y_2 = 10$. Вернемся к замене:

$10^{x^2} = 10$

$10^{x^2} = 10^1$

$x^2 = 1$

$x_1 = 1, x_2 = -1$

Ответ: $x = \pm 1$.

16.14. 1) $2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = 0,01 \cdot (10^{x-1})^3;$

2) $32^{\frac{x+5}{x-7}} = 0,25 \cdot 128^{\frac{x+17}{x-3}};$

3) $2 \cdot 3^{x-1} - 3^{x-2} = 5^{x-2} + 4 \cdot 5^{x-3};$

4) $8^x - 4^{x+0,5} - 2^x + 2 = 0.$

1) $2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = 0,01 \cdot (10^{x-1})^3$

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$(2 \cdot 5)^{x^2-3} = 10^{x^2-3}$

Преобразуем правую часть уравнения. Представим $0,01$ как $10^{-2}$ и раскроем скобки, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$0,01 \cdot (10^{x-1})^3 = 10^{-2} \cdot 10^{3(x-1)} = 10^{-2} \cdot 10^{3x-3}$

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:

$10^{-2 + 3x-3} = 10^{3x-5}$

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части:

$10^{x^2-3} = 10^{3x-5}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2-3 = 3x-5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 3 + 5 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни уравнения:

$x_1 = 1$, $x_2 = 2$

Ответ: $1; 2$.

2) $32^{\frac{x+5}{x-7}} = 0,25 \cdot 128^{\frac{x+17}{x-3}}$

Приведем все основания к степени с основанием 2:

$32 = 2^5$; $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$; $128 = 2^7$.

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$(2^5)^{\frac{x+5}{x-7}} = 2^{-2} \cdot (2^7)^{\frac{x+17}{x-3}}$

Упростим, используя свойства степеней:

$2^{\frac{5(x+5)}{x-7}} = 2^{-2} \cdot 2^{\frac{7(x+17)}{x-3}}$

$2^{\frac{5x+25}{x-7}} = 2^{-2 + \frac{7x+119}{x-3}}$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 7$ и $x \neq 3$.

$\frac{5x+25}{x-7} = -2 + \frac{7x+119}{x-3}$

Перенесем все дроби в одну сторону:

$\frac{5x+25}{x-7} - \frac{7x+119}{x-3} + 2 = 0$

Приведем к общему знаменателю $(x-7)(x-3)$:

$\frac{(5x+25)(x-3) - (7x+119)(x-7) + 2(x-7)(x-3)}{(x-7)(x-3)} = 0$

Раскроем скобки в числителе:

$(5x^2 - 15x + 25x - 75) - (7x^2 - 49x + 119x - 833) + 2(x^2 - 3x - 7x + 21) = 0$

$(5x^2 + 10x - 75) - (7x^2 + 70x - 833) + 2(x^2 - 10x + 21) = 0$

$5x^2 + 10x - 75 - 7x^2 - 70x + 833 + 2x^2 - 20x + 42 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(5x^2 - 7x^2 + 2x^2) + (10x - 70x - 20x) + (-75 + 833 + 42) = 0$

$0 \cdot x^2 - 80x + 800 = 0$

$-80x = -800$

$x = 10$

Корень $x=10$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $10$.

3) $2 \cdot 3^{x-1} - 3^{x-2} = 5^{x-2} + 4 \cdot 5^{x-3}$

Преобразуем уравнение, используя свойство $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2 \cdot \frac{3^x}{3^1} - \frac{3^x}{3^2} = \frac{5^x}{5^2} + 4 \cdot \frac{5^x}{5^3}$

$\frac{2}{3} \cdot 3^x - \frac{1}{9} \cdot 3^x = \frac{1}{25} \cdot 5^x + \frac{4}{125} \cdot 5^x$

Вынесем $3^x$ и $5^x$ за скобки в обеих частях уравнения:

$3^x \cdot (\frac{2}{3} - \frac{1}{9}) = 5^x \cdot (\frac{1}{25} + \frac{4}{125})$

$3^x \cdot (\frac{6-1}{9}) = 5^x \cdot (\frac{5+4}{125})$

$3^x \cdot \frac{5}{9} = 5^x \cdot \frac{9}{125}$

Разделим обе части на $5^x$ и на $\frac{5}{9}$ (это возможно, так как $5^x > 0$):

$\frac{3^x}{5^x} = \frac{9/125}{5/9}$

$(\frac{3}{5})^x = \frac{9}{125} \cdot \frac{9}{5}$

$(\frac{3}{5})^x = \frac{81}{625}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{3}{5}$:

$\frac{81}{625} = \frac{3^4}{5^4} = (\frac{3}{5})^4$

$(\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^4$

Отсюда следует:

$x=4$

Ответ: $4$.

4) $8^x - 4^{x+0,5} - 2^x + 2 = 0$

Приведем все степени к основанию 2:

$(2^3)^x - (2^2)^{x+0,5} - 2^x + 2 = 0$

$2^{3x} - 2^{2(x+0,5)} - 2^x + 2 = 0$

$2^{3x} - 2^{2x+1} - 2^x + 2 = 0$

$(2^x)^3 - 2^{2x} \cdot 2^1 - 2^x + 2 = 0$

$(2^x)^3 - 2 \cdot (2^x)^2 - 2^x + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$, то $t>0$.

$t^3 - 2t^2 - t + 2 = 0$

Решим кубическое уравнение методом группировки:

$(t^3 - 2t^2) - (t - 2) = 0$

$t^2(t - 2) - 1(t - 2) = 0$

$(t^2 - 1)(t - 2) = 0$

$(t - 1)(t + 1)(t - 2) = 0$

Корни уравнения для $t$: $t_1 = 1$, $t_2 = -1$, $t_3 = 2$.

Вернемся к замене, учитывая условие $t > 0$. Корень $t_2 = -1$ не подходит.

1. $t_1 = 1 \Rightarrow 2^x = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow x_1 = 0$.

2. $t_3 = 2 \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow 2^x = 2^1 \Rightarrow x_2 = 1$.

Ответ: $0; 1$.

Решите системы уравнений (16.15–16.17):

16.15. 1)

$\begin{cases} 3^x \cdot 5^y = 75, \\ 3^y \cdot 5^x = 45; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 3^{3x} = 3^{7-y}, \\ \frac{1}{x} + 2 = \frac{12}{y}. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 3^x \cdot 5^y = 75 \\ 3^y \cdot 5^x = 45 \end{cases} $.

Для решения системы перемножим два ее уравнения: $(3^x \cdot 5^y) \cdot (3^y \cdot 5^x) = 75 \cdot 45$.

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и разложим числа в правой части на простые множители: $3^{x+y} \cdot 5^{x+y} = (3 \cdot 5^2) \cdot (3^2 \cdot 5)$.

Это дает $(3 \cdot 5)^{x+y} = 3^3 \cdot 5^3$, или $15^{x+y} = (3 \cdot 5)^3 = 15^3$.

Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны. Отсюда получаем первое уравнение: $x+y=3$.

Теперь разделим первое уравнение системы на второе: $\frac{3^x \cdot 5^y}{3^y \cdot 5^x} = \frac{75}{45}$.

Преобразуем левую часть по свойству степеней, а правую сократим: $3^{x-y} \cdot 5^{y-x} = \frac{5}{3}$.

Левую часть можно записать как $3^{x-y} \cdot (5^{-1})^{x-y} = (\frac{3}{5})^{x-y}$.

Тогда уравнение примет вид $(\frac{3}{5})^{x-y} = \frac{5}{3}$, что равносильно $(\frac{3}{5})^{x-y} = (\frac{3}{5})^{-1}$.

Отсюда получаем второе уравнение: $x-y=-1$.

Теперь у нас есть система линейных уравнений: $ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = -1 \end{cases} $.

Сложив эти два уравнения, получаем $2x=2$, откуда $x=1$.

Подставив $x=1$ в первое уравнение, находим $y$: $1+y=3 \Rightarrow y=2$.

Таким образом, решение системы — $(1; 2)$.

Ответ: $(1; 2)$.

2) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 3^{3x} = 3^{7-y} \\ \frac{1}{x} + 2 = \frac{12}{y} \end{cases} $.

Из первого показательного уравнения, так как основания равны ($3$), следует равенство показателей: $3x = 7-y$.

Выразим $y$ через $x$: $y = 7 - 3x$.

Во втором уравнении есть ограничения на переменные (область допустимых значений): $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Из $y=7-3x$ и $y \neq 0$ следует, что $7-3x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{7}{3}$.

Подставим выражение для $y$ во второе уравнение системы: $\frac{1}{x} + 2 = \frac{12}{7 - 3x}$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(7-3x)$, чтобы избавиться от дробей: $(7-3x) + 2x(7-3x) = 12x$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $7 - 3x + 14x - 6x^2 = 12x$.

$7 + 11x - 6x^2 = 12x$.

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $6x^2 + 12x - 11x - 7 = 0$, что упрощается до $6x^2 + x - 7 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-1+13}{12} = \frac{12}{12} = 1$ и $x_2 = \frac{-1-13}{12} = -\frac{14}{12} = -\frac{7}{6}$.

Оба найденных корня удовлетворяют ограничениям $x \neq 0$ и $x \neq \frac{7}{3}$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя формулу $y = 7 - 3x$:

При $x_1=1$, $y_1 = 7 - 3(1) = 4$. Получаем первое решение $(1; 4)$.

При $x_2=-\frac{7}{6}$, $y_2 = 7 - 3(-\frac{7}{6}) = 7 + \frac{21}{6} = 7 + \frac{7}{2} = \frac{14}{2} + \frac{7}{2} = \frac{21}{2}$. Получаем второе решение $(-\frac{7}{6}; \frac{21}{2})$.

Ответ: $(1; 4)$, $(-\frac{7}{6}; \frac{21}{2})$.