Страница 104 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Имеют ли уравнения $5^{2x} = -7$, $2^{3x} = 9$ корни? Если уравнение имеет корни, то каким способом их можно найти?

2. Может ли быть посторонним корень показательного уравнения? Ответ обоснуйте. Приведите пример.

3. С какой целью применяется способ введения новой переменной? Ответ обоснуйте. Приведите пример.

1. Имеют ли уравнения $5^{2x} = -7, 2^{3x} = 9$ корни? Если уравнение имеет корни, то каким способом их можно найти?

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Уравнение $5^{2x} = -7$:

Показательная функция $y = a^z$ с основанием $a > 0$ (в данном случае $a=5$) принимает только положительные значения. То есть, $5^{2x} > 0$ для любого действительного значения $x$. Правая часть уравнения равна -7, что является отрицательным числом. Поскольку положительное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.

Уравнение $2^{3x} = 9$:

В этом уравнении и основание степени (2), и правая часть (9) являются положительными числами, поэтому уравнение имеет корень. Для его нахождения можно использовать логарифмы.

Способ решения — логарифмирование обеих частей уравнения по основанию 2 (или использование определения логарифма):

Если $a^y = b$, то $y = \log_a b$.

В нашем случае $a=2, y=3x, b=9$.

$3x = \log_2 9$

Теперь выразим $x$:

$x = \frac{\log_2 9}{3}$

Можно упростить выражение, используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$:

$\log_2 9 = \log_2(3^2) = 2\log_2 3$

Тогда корень уравнения:

$x = \frac{2\log_2 3}{3}$

Ответ: Уравнение $5^{2x} = -7$ корней не имеет. Уравнение $2^{3x} = 9$ имеет корень $x = \frac{2\log_2 3}{3}$, который можно найти с помощью логарифмирования.

2. Может ли быть посторонним корень показательного уравнения? Ответ обоснуйте. Приведите пример.

Да, у показательного уравнения может появиться посторонний корень. Посторонние корни возникают в результате неэквивалентных преобразований уравнения в процессе решения. Такие преобразования могут расширять область допустимых значений переменной или изменять саму структуру уравнения.

Чаще всего посторонние корни появляются при возведении обеих частей уравнения в квадрат, так как это действие не учитывает знак выражений. Уравнение вида $A(x) = B(x)$ после возведения в квадрат становится $A(x)^2 = B(x)^2$, что равносильно совокупности двух уравнений: $A(x) = B(x)$ (исходное) и $A(x) = -B(x)$ (которое и может дать посторонние корни).

Пример:

Рассмотрим уравнение $2^x = -\sqrt{4^x + 3x - 10}$.

Левая часть $2^x$ всегда положительна. Правая часть $-\sqrt{...}$ всегда неположительна (либо отрицательна, либо равна нулю). Равенство возможно только если обе части равны нулю, что невозможно. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

Однако, если мы начнем его решать, возведя обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(2^x)^2 = (-\sqrt{4^x + 3x - 10})^2$

$4^x = 4^x + 3x - 10$

Вычтем $4^x$ из обеих частей:

$0 = 3x - 10$

$3x = 10$

$x = \frac{10}{3}$

Мы получили корень $x = \frac{10}{3}$. Теперь необходимо выполнить проверку, подставив его в исходное уравнение.

Левая часть: $2^{10/3}$

Правая часть: $-\sqrt{4^{10/3} + 3 \cdot \frac{10}{3} - 10} = -\sqrt{(2^2)^{10/3} + 10 - 10} = -\sqrt{2^{20/3}} = -(2^{10/3})$.

Получаем равенство $2^{10/3} = -2^{10/3}$, что неверно.

Таким образом, $x = \frac{10}{3}$ является посторонним корнем.

Ответ: Да, может. Это происходит при использовании неэквивалентных преобразований, например, возведения в квадрат. Пример: уравнение $2^x = -\sqrt{4^x + 3x - 10}$ после преобразований дает корень $x = 10/3$, который не удовлетворяет исходному уравнению.

3. С какой целью применяется способ введения новой переменной? Ответ обоснуйте. Приведите пример.

Способ введения новой переменной (или метод замены) применяется с целью упрощения исходного уравнения и приведения его к более простому, стандартному виду, который легко решить.

Обоснование: Часто в показательных уравнениях одно и то же выражение с переменной (например, $a^x$) встречается несколько раз. Заменив это повторяющееся выражение на новую переменную (например, $t$), можно преобразовать сложное на вид показательное уравнение в простое алгебраическое, чаще всего — в квадратное или рациональное. После нахождения значений новой переменной выполняется обратная замена, что позволяет найти корни исходного уравнения.

Пример:

Решим уравнение $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$.

1. Преобразование. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Уравнение можно переписать в виде:

$(3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$

2. Введение новой переменной. Видно, что выражение $3^x$ повторяется. Введем замену: пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

3. Решение нового уравнения. После замены получаем простое квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 10t + 9 = 0$

По теореме Виета, его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$. Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

4. Обратная замена. Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Для $t_1 = 1$:

$3^x = 1$

$3^x = 3^0$

$x_1 = 0$

Для $t_2 = 9$:

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x_2 = 2$

Таким образом, с помощью введения новой переменной мы свели показательное уравнение к квадратному и нашли его корни.

Ответ: Способ введения новой переменной применяется для упрощения уравнения путем его сведения к стандартному алгебраическому виду (например, квадратному), что облегчает нахождение решения. Пример: уравнение $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$ заменой $t=3^x$ сводится к $t^2 - 10t + 9 = 0$, откуда находятся корни $x_1=0, x_2=2$.