Страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15.4. Напишите общий вид первообразной для функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 3e^x$;

2) $f(x) = 2 \cdot 5^x$;

3) $f(x) = 7 \cdot 4^x$;

4) $f(x) = 1 + 2^x$.

1) Чтобы найти общий вид первообразной для функции $f(x) = 3e^x$, нужно найти ее неопределенный интеграл. Обозначим первообразную как $F(x)$.

$F(x) = \int 3e^x dx$

Используя свойство интеграла, вынесем константу за его знак:

$F(x) = 3 \int e^x dx$

По таблице интегралов, первообразная для функции $e^x$ равна самой себе, то есть $e^x$.

$F(x) = 3e^x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = 3e^x + C$.

2) Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 2 \cdot 5^x$.

$F(x) = \int 2 \cdot 5^x dx$

Вынесем константу 2 за знак интеграла:

$F(x) = 2 \int 5^x dx$

Для нахождения интеграла от показательной функции $a^x$ используется формула $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$. В нашем случае $a=5$.

$F(x) = 2 \cdot \frac{5^x}{\ln 5} + C = \frac{2 \cdot 5^x}{\ln 5} + C$

Ответ: $F(x) = \frac{2 \cdot 5^x}{\ln 5} + C$.

3) Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 7 \cdot 4^x$.

$F(x) = \int 7 \cdot 4^x dx$

Вынесем константу 7 за знак интеграла:

$F(x) = 7 \int 4^x dx$

Используем ту же формулу для интеграла от показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$, где $a=4$.

$F(x) = 7 \cdot \frac{4^x}{\ln 4} + C = \frac{7 \cdot 4^x}{\ln 4} + C$

Ответ: $F(x) = \frac{7 \cdot 4^x}{\ln 4} + C$.

4) Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 1 + 2^x$.

$F(x) = \int (1 + 2^x) dx$

Используя свойство аддитивности интеграла, разобьем его на два интеграла:

$F(x) = \int 1 dx + \int 2^x dx$

Первообразная для константы 1 равна $x$.

Первообразная для $2^x$ находится по формуле $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$, где $a=2$. Таким образом, $\int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2}$.

Сложив результаты и добавив константу интегрирования $C$, получаем:

$F(x) = x + \frac{2^x}{\ln 2} + C$

Ответ: $F(x) = x + \frac{2^x}{\ln 2} + C$.

15.5. Вычислите интеграл:

1) $ \int_{0}^{1} 2^x dx $;

2) $ \int_{0}^{1} e^x dx $;

3) $ \int_{1}^{3} 2^x dx $;

4) $ \int_{-2}^{-1} 3^x dx $.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} 2^x dx$ воспользуемся общей формулой для интеграла от показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ и формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразной для функции $f(x) = 2^x$ является функция $F(x) = \frac{2^x}{\ln 2}$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{0}^{1} 2^x dx = \left. \frac{2^x}{\ln 2} \right|_{0}^{1} = \frac{2^1}{\ln 2} - \frac{2^0}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{2-1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}$.

Ответ: $\frac{1}{\ln 2}$.

2) Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} e^x dx$.

Первообразная для функции натуральной экспоненты $f(x) = e^x$ — это сама функция $F(x) = e^x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{1} e^x dx = \left. e^x \right|_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$.

Ответ: $e - 1$.

3) Вычислим интеграл $\int_{1}^{3} 2^x dx$.

Первообразная для $f(x) = 2^x$ равна $F(x) = \frac{2^x}{\ln 2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{3} 2^x dx = \left. \frac{2^x}{\ln 2} \right|_{1}^{3} = \frac{2^3}{\ln 2} - \frac{2^1}{\ln 2} = \frac{8}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 2} = \frac{8-2}{\ln 2} = \frac{6}{\ln 2}$.

Ответ: $\frac{6}{\ln 2}$.

4) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} 3^x dx$.

Первообразная для функции $f(x) = 3^x$ равна $F(x) = \frac{3^x}{\ln 3}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{-1} 3^x dx = \left. \frac{3^x}{\ln 3} \right|_{-2}^{-1} = \frac{3^{-1}}{\ln 3} - \frac{3^{-2}}{\ln 3} = \frac{1/3}{\ln 3} - \frac{1/9}{\ln 3} = \frac{1}{\ln 3} \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{9}\right) = \frac{1}{\ln 3} \left(\frac{3}{9} - \frac{1}{9}\right) = \frac{1}{\ln 3} \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{9\ln 3}$.

Ответ: $\frac{2}{9\ln 3}$.

15.6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \frac{4}{x}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0$;

2) $y = 5^x$, $x = 3$, $x = 0$, $y = 0$.

1) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{4}{x}$, $x = 1$, $x = 4$ и $y = 0$ (осью Ox), является площадью криволинейной трапеции. Так как на отрезке $[1, 4]$ функция $y = \frac{4}{x}$ неотрицательна, площадь $S$ вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

Подставим наши данные: $f(x) = \frac{4}{x}$, $a=1$, $b=4$.

$S = \int_{1}^{4} \frac{4}{x} dx$

Вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = 4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} dx = 4 [\ln|x|]_{1}^{4} = 4 (\ln|4| - \ln|1|)$

Так как $\ln(1) = 0$, получаем:

$S = 4 (\ln(4) - 0) = 4 \ln(4)$.

Ответ: $4 \ln(4)$.

2) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 5^x$, $x = 3$, $x = 0$ и $y = 0$ (осью Ox), также вычисляется как площадь криволинейной трапеции. Функция $y = 5^x$ положительна на отрезке $[0, 3]$.

Подставим данные в формулу $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$: $f(x) = 5^x$, $a=0$, $b=3$.

$S = \int_{0}^{3} 5^x dx$

Первообразная для показательной функции $f(x)=a^x$ равна $F(x)=\frac{a^x}{\ln a}$. Вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{5^x}{\ln 5} \right]_{0}^{3} = \frac{5^3}{\ln 5} - \frac{5^0}{\ln 5}$

Так как $5^3 = 125$ и $5^0 = 1$, получаем:

$S = \frac{125}{\ln 5} - \frac{1}{\ln 5} = \frac{125 - 1}{\ln 5} = \frac{124}{\ln 5}$.

Ответ: $\frac{124}{\ln 5}$.

Найдите производные функции $y = f(x)$ (15.7–15.8):

15.7. 1) $f(x) = e^{x^2} \cos x;$

2) $f(x) = 5^{\frac{1}{x}} \cdot \operatorname{tg}x;$

3) $f(x) = x^2 \cdot \ln x;$

4) $f(x) = 3^{x^2} \cdot \ln x.$

1) Для нахождения производной функции $f(x) = e^x \cos x$, которая представляет собой произведение двух функций $u(x) = e^x$ и $v(x) = \cos x$, воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Сначала найдем производные каждой из функций:

Производная от $u(x) = e^x$ равна $u'(x) = (e^x)' = e^x$.

Производная от $v(x) = \cos x$ равна $v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Теперь подставим эти производные в формулу произведения:

$f'(x) = (e^x)' \cdot \cos x + e^x \cdot (\cos x)' = e^x \cos x + e^x(-\sin x)$.

Упростим полученное выражение, вынеся общий множитель $e^x$ за скобки:

$f'(x) = e^x(\cos x - \sin x)$.

Ответ: $f'(x) = e^x(\cos x - \sin x)$.

2) Дана функция $f(x) = 5^{\frac{1}{x}} \cdot \operatorname{tg}x$. Это произведение двух функций: $u(x) = 5^{\frac{1}{x}}$ и $v(x) = \operatorname{tg}x$. Применяем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производную $u'(x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило цепочки. Внешняя функция — $5^z$, внутренняя — $z(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$.

Производная внешней функции: $(5^z)' = 5^z \ln 5$.

Производная внутренней функции: $(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Тогда $u'(x) = (5^{\frac{1}{x}})' = 5^{\frac{1}{x}} \ln 5 \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{5^{\frac{1}{x}} \ln 5}{x^2}$.

Теперь найдем производную $v'(x)$: $v'(x) = (\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Подставляем найденные производные в правило произведения:

$f'(x) = \left(-\frac{5^{\frac{1}{x}} \ln 5}{x^2}\right) \cdot \operatorname{tg}x + 5^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.

Вынесем общий множитель $5^{\frac{1}{x}}$ за скобки для упрощения:

$f'(x) = 5^{\frac{1}{x}} \left(\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\ln 5 \cdot \operatorname{tg}x}{x^2}\right)$.

Ответ: $f'(x) = 5^{\frac{1}{x}} \left(\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\ln 5 \cdot \operatorname{tg}x}{x^2}\right)$.

3) Для функции $f(x) = x^2 \cdot \ln x$ также применяем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = x^2$ и $v(x) = \ln x$.

Найдем производные составляющих функций:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = (x^2)' \cdot \ln x + x^2 \cdot (\ln x)' = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x}$.

Упрощаем выражение:

$f'(x) = 2x \ln x + x$.

Можно вынести общий множитель $x$ за скобки:

$f'(x) = x(2 \ln x + 1)$.

Ответ: $f'(x) = x(2 \ln x + 1)$.

4) Дана функция $f(x) = 3^{x^2} \cdot \ln x$. Снова используем правило производной произведения для $u(x) = 3^{x^2}$ и $v(x) = \ln x$.

Найдем производную $u'(x)$. Это сложная функция, где внешняя функция $3^z$, а внутренняя $z(x) = x^2$.

Производная внешней функции: $(3^z)' = 3^z \ln 3$.

Производная внутренней функции: $(x^2)' = 2x$.

По правилу цепочки, $u'(x) = (3^{x^2})' = 3^{x^2} \ln 3 \cdot (2x) = 2x \cdot 3^{x^2} \ln 3$.

Производная $v(x) = \ln x$ равна $v'(x) = \frac{1}{x}$.

Применяем правило производной произведения:

$f'(x) = (2x \cdot 3^{x^2} \ln 3) \cdot \ln x + 3^{x^2} \cdot \frac{1}{x}$.

Вынесем общий множитель $3^{x^2}$ за скобки:

$f'(x) = 3^{x^2} \left(2x \ln 3 \ln x + \frac{1}{x}\right)$.

Ответ: $f'(x) = 3^{x^2} \left(2x \ln x \ln 3 + \frac{1}{x}\right)$.

15.8. 1) $f(x) = (5^x + 4) \cdot x^3;$

2) $f(x) = \sqrt{x} \cdot \log_2 x;$

3) $f(x) = x^2 \cdot e^{5x};$

4) $f(x) = x^2 \cdot 2^{-x}.$

1) Для нахождения производной функции $f(x) = (5^x + 4) \cdot x^3$ используется правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 5^x + 4$ и $v(x) = x^3$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (5^x + 4)' = (5^x)' + (4)' = 5^x \ln 5 + 0 = 5^x \ln 5$.

$v'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

Теперь подставим найденные производные в формулу произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (5^x \ln 5) \cdot x^3 + (5^x + 4) \cdot 3x^2$.

Упростим выражение:

$f'(x) = x^3 \cdot 5^x \ln 5 + 3x^2(5^x + 4) = x^3 \cdot 5^x \ln 5 + 3x^2 \cdot 5^x + 12x^2$.

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$f'(x) = x^2(x \cdot 5^x \ln 5 + 3 \cdot 5^x + 12)$.

Ответ: $f'(x) = x^2(x \cdot 5^x \ln 5 + 3 \cdot 5^x + 12)$.

2) Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{x} \cdot \log_2 x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^{1/2} \cdot \log_2 x$.

Пусть $u(x) = x^{1/2}$ и $v(x) = \log_2 x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$v'(x) = (\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$.

Подставим в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \log_2 x + x^{1/2} \cdot \frac{1}{x \ln 2}$.

Упростим выражение:

$f'(x) = \frac{\log_2 x}{2\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{x \ln 2} = \frac{\log_2 x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} \ln 2}$.

Приведем к общему знаменателю $2\sqrt{x} \ln 2$. Для этого домножим первую дробь на $\ln 2$, а вторую на 2:

$f'(x) = \frac{\log_2 x \cdot \ln 2}{2\sqrt{x} \ln 2} + \frac{2}{2\sqrt{x} \ln 2} = \frac{\log_2 x \cdot \ln 2 + 2}{2\sqrt{x} \ln 2}$.

Используя свойство логарифмов $\log_a b \cdot \ln a = \ln b$, получим $\log_2 x \cdot \ln 2 = \ln x$.

$f'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x} \ln 2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x} \ln 2}$.

3) Для нахождения производной функции $f(x) = x^2 \cdot e^{5x}$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ и правилом дифференцирования сложной функции.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^{5x}$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

$v'(x) = (e^{5x})'$. Это сложная функция, ее производная равна $(e^{5x})' = e^{5x} \cdot (5x)' = e^{5x} \cdot 5 = 5e^{5x}$.

Подставим в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x \cdot e^{5x} + x^2 \cdot 5e^{5x}$.

Упростим выражение, вынеся за скобки общий множитель $xe^{5x}$:

$f'(x) = xe^{5x}(2 + 5x)$.

Ответ: $f'(x) = xe^{5x}(2 + 5x)$.

4) Для нахождения производной функции $f(x) = x^2 \cdot 2^{-x}$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ и правилом дифференцирования сложной функции.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = 2^{-x}$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

$v'(x) = (2^{-x})'$. Это сложная функция, ее производная равна $(2^{-x})' = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-x)' = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-1) = -2^{-x} \ln 2$.

Подставим в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x \cdot 2^{-x} + x^2 \cdot (-2^{-x} \ln 2)$.

Упростим выражение, вынеся за скобки общий множитель $x \cdot 2^{-x}$:

$f'(x) = x \cdot 2^{-x}(2 - x \ln 2)$.

Ответ: $f'(x) = x \cdot 2^{-x}(2 - x \ln 2)$.

15.9. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = e^x - ex$;

2) $f(x) = 2xe^x$.

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = e^x - ex$ необходимо исследовать знак ее производной.

Сначала найдем область определения функции. Функция определена для всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (e^x - ex)' = (e^x)' - (ex)' = e^x - e$.

Далее найдем критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $f'(x) = e^x - e$ определена на всей числовой оси. Приравняем ее к нулю:

$f'(x) = 0$

$e^x - e = 0$

$e^x = e$

$x = 1$

Критическая точка $x=1$ делит область определения на два промежутка: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.

Для промежутка $(-\infty; 1)$ возьмем пробную точку, например, $x=0$.

$f'(0) = e^0 - e = 1 - e$. Поскольку $e \approx 2.718$, то $1 - e < 0$. Следовательно, на промежутке $(-\infty; 1]$ функция убывает.

Для промежутка $(1; +\infty)$ возьмем пробную точку, например, $x=2$.

$f'(2) = e^2 - e = e(e - 1)$. Поскольку $e > 1$, то $e-1 > 0$, и $f'(2) > 0$. Следовательно, на промежутке $[1; +\infty)$ функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.

2) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = 2xe^x$ необходимо исследовать знак ее производной.

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (2xe^x)' = (2x)' \cdot e^x + 2x \cdot (e^x)' = 2e^x + 2xe^x = 2e^x(1 + x)$.

Далее найдем критические точки. Производная $f'(x) = 2e^x(1 + x)$ определена на всей числовой оси. Приравняем ее к нулю:

$f'(x) = 0$

$2e^x(1 + x) = 0$

Поскольку $2e^x > 0$ для любого действительного $x$, то равенство выполняется только когда:

$1 + x = 0$

$x = -1$

Критическая точка $x=-1$ делит область определения на два промежутка: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков. Знак производной $f'(x) = 2e^x(1+x)$ зависит только от знака множителя $(1+x)$, так как $2e^x$ всегда положителен.

Для промежутка $(-\infty; -1)$, если $x < -1$, то $1+x < 0$. Следовательно, $f'(x) < 0$, и функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$.

Для промежутка $(-1; +\infty)$, если $x > -1$, то $1+x > 0$. Следовательно, $f'(x) > 0$, и функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -1]$.

15.10. Найдите точки экстремума функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = e^x - x$;

2) $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} - \left(\frac{1}{2}\right)^x$.

1) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = e^x - x$ воспользуемся алгоритмом исследования функции с помощью производной.

Шаг 1: Находим область определения функции. Функция $f(x)$ определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Шаг 2: Находим производную функции.$f'(x) = (e^x - x)' = (e^x)' - (x)' = e^x - 1$.

Шаг 3: Находим критические точки. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $f'(x) = e^x - 1$ существует для всех $x$. Приравняем производную к нулю:$f'(x) = 0$$e^x - 1 = 0$$e^x = 1$$x = \ln(1)$$x = 0$Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x = 0$.

Шаг 4: Определяем знаки производной на интервалах, на которые критическая точка делит область определения.Рассмотрим интервал $(-\infty; 0)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = -1$.$f'(-1) = e^{-1} - 1 = \frac{1}{e} - 1$. Так как $e \approx 2.718$, то $\frac{1}{e} < 1$, следовательно, $f'(-1) < 0$. Значит, на интервале $(-\infty; 0)$ функция убывает.

Рассмотрим интервал $(0; +\infty)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = 1$.$f'(1) = e^1 - 1 = e - 1$. Так как $e > 1$, то $f'(1) > 0$. Значит, на интервале $(0; +\infty)$ функция возрастает.

Шаг 5: Делаем вывод о наличии экстремума.В точке $x = 0$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, $x = 0$ является точкой минимума.Ответ: $x_{min} = 0$.

2) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = (\frac{1}{2})^{2x} - (\frac{1}{2})^x$ следуем тому же алгоритму.

Шаг 1: Находим область определения функции. Функция является показательной и определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Шаг 2: Находим производную функции. Используем формулу производной показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.$f'(x) = ((\frac{1}{2})^{2x} - (\frac{1}{2})^x)' = ((\frac{1}{2})^{2x})' - ((\frac{1}{2})^x)'$$f'(x) = (\frac{1}{2})^{2x} \ln(\frac{1}{2}) \cdot (2x)' - (\frac{1}{2})^x \ln(\frac{1}{2}) \cdot (x)'$$f'(x) = 2 \cdot (\frac{1}{2})^{2x} \ln(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^x \ln(\frac{1}{2})$Вынесем общий множитель $\ln(\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})^x$ за скобки:$f'(x) = \ln(\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})^x (2(\frac{1}{2})^x - 1)$.

Шаг 3: Находим критические точки. Производная существует для всех $x$. Приравняем производную к нулю:$\ln(\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})^x (2(\frac{1}{2})^x - 1) = 0$.Так как $\ln(\frac{1}{2}) = -\ln 2 \neq 0$ и $(\frac{1}{2})^x > 0$ для любого $x$, равенство возможно только если:$2(\frac{1}{2})^x - 1 = 0$$2(\frac{1}{2})^x = 1$$(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{2}$$x = 1$.Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x = 1$.

Шаг 4: Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.Знак $f'(x)$ определяется знаком выражения $2(\frac{1}{2})^x - 1$, так как $\ln(\frac{1}{2}) < 0$ и $(\frac{1}{2})^x > 0$.Рассмотрим интервал $(-\infty; 1)$. Возьмем $x = 0$.$2(\frac{1}{2})^0 - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1 > 0$.Тогда $f'(0) = \ln(\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2})^0 \cdot (1) = \ln(\frac{1}{2}) < 0$. На этом интервале функция убывает.

Рассмотрим интервал $(1; +\infty)$. Возьмем $x = 2$.$2(\frac{1}{2})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} < 0$.Тогда $f'(2) = \ln(\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (-\frac{1}{2}) > 0$. На этом интервале функция возрастает.

Шаг 5: Делаем вывод о наличии экстремума.В точке $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, $x = 1$ является точкой минимума.Ответ: $x_{min} = 1$.

15.11. Напишите уравнение касательной к графику функции $f(x) = e^x$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В условии задачи дана функция $f(x) = e^x$ и абсцисса точки касания $x_0 = -1$.

Для нахождения уравнения касательной выполним следующие шаги:

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0 = -1$:

$f(x_0) = f(-1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Производная показательной функции $e^x$ равна самой функции:

$f'(x) = (e^x)' = e^x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$. Это значение равно угловому коэффициенту касательной:

$f'(x_0) = f'(-1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = \frac{1}{e}$, $f'(x_0) = \frac{1}{e}$ и $x_0 = -1$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = \frac{1}{e} + \frac{1}{e}(x - (-1))$

5. Упростим полученное выражение, чтобы привести его к стандартному виду $y = kx + b$:

$y = \frac{1}{e} + \frac{1}{e}(x + 1)$

$y = \frac{1}{e} + \frac{x}{e} + \frac{1}{e}$

$y = \frac{x}{e} + \frac{2}{e}$

Таким образом, искомое уравнение касательной: $y = \frac{1}{e}x + \frac{2}{e}$.

Ответ: $y = \frac{1}{e}x + \frac{2}{e}$.

15.12. Исследуйте функцию $y = x \ln x$ и постройте ее график.

Проведем полное исследование функции $y = x \ln x$.

1. Область определения функции

Функция содержит натуральный логарифм $\ln x$, который определен только для положительных значений аргумента. Следовательно, $x > 0$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = (0, +\infty)$.

2. Четность и нечетность функции

Область определения $D(y) = (0, +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Функция является функцией общего вида.

Ответ: Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью Oy:

Для нахождения точки пересечения с осью Oy необходимо подставить $x=0$ в уравнение функции. Однако $x=0$ не входит в область определения функции, следовательно, график функции не пересекает ось Oy.

Пересечение с осью Ox:

Для нахождения точки пересечения с осью Ox необходимо решить уравнение $y=0$:

$x \ln x = 0$

Поскольку $x > 0$ по области определения, равенство возможно только при $\ln x = 0$, откуда $x = e^0 = 1$.

Точка пересечения с осью Ox: $(1, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью Ox - $(1, 0)$; пересечения с осью Oy нет.

4. Асимптоты графика функции

Вертикальные асимптоты:

Исследуем поведение функции на границе области определения, то есть при $x \to 0^+$.

$\lim_{x \to 0^+} x \ln x$

Это неопределенность вида $0 \cdot (-\infty)$. Преобразуем выражение и применим правило Лопиталя:

$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(\ln x)'}{(1/x)'} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$.

Поскольку предел конечен, вертикальной асимптоты нет. График функции начинается в точке $(0, 0)$ (не включая ее).

Наклонные асимптоты:

Ищем асимптоту вида $y = kx + b$ при $x \to +\infty$.

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x \ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.

Поскольку предел для $k$ не является конечным числом, наклонных (и горизонтальных) асимптот нет.

Ответ: Асимптот у графика функции нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума

Найдем первую производную функции:

$y' = (x \ln x)' = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \implies \ln x + 1 = 0 \implies \ln x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x = 1/e$ делит область определения $(0, +\infty)$.

При $x \in (0, 1/e)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.

При $x \in (1/e, +\infty)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

В точке $x = 1/e$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума.

Найдем значение функции в точке минимума:

$y_{min} = y(1/e) = \frac{1}{e} \ln(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e}$.

Точка минимума: $(1/e, -1/e)$. Приближенные значения: $(0.37, -0.37)$.

Ответ: Функция убывает на интервале $(0, 1/e]$ и возрастает на интервале $[1/e, +\infty)$. Точка минимума: $(1/e, -1/e)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную функции:

$y'' = (\ln x + 1)' = \frac{1}{x}$.

В области определения $D(y) = (0, +\infty)$ вторая производная $y'' = 1/x$ всегда положительна ($y'' > 0$).

Следовательно, функция является выпуклой вниз (вогнутой) на всей области определения.

Так как вторая производная нигде не обращается в ноль и не меняет знак, точек перегиба у графика функции нет.

Ответ: Функция выпукла вниз (вогнута) на всей области определения $(0, +\infty)$. Точек перегиба нет.

7. Построение графика

На основе проведенного исследования, построим график функции. Обобщим полученные данные:

- Область определения: $(0, +\infty)$.

- График начинается из точки $(0, 0)$ (выколотая точка).

- Убывает до точки минимума $(1/e, -1/e) \approx (0.37, -0.37)$.

- Пересекает ось Ox в точке $(1, 0)$.

- Далее возрастает до $+\infty$.

- Функция выпукла вниз на всей области определения.

- Асимптот нет.

Ответ: График функции построен на основе результатов исследования.

15.13. Найдите первообразную для функции $y = g(x)$, график которой

проходит через точку $B (a, b)$:

1) $g(x) = 4^x$, $B (\log_2 3; 0)$;

2) $g(x) = \frac{2}{x-3}$, $B (4; -2)$.

15.14. Разложите числа:

1) Для функции $g(x) = 4^x$ общим видом первообразной $G(x)$ является функция, получаемая интегрированием $g(x)$. Используя табличное значение интеграла для показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$, получаем:

$G(x) = \int 4^x dx = \frac{4^x}{\ln 4} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

По условию, график первообразной проходит через точку $B(\log_2 3; 0)$. Это означает, что при $x = \log_2 3$ значение функции $G(x)$ равно $0$, то есть $G(\log_2 3) = 0$. Подставим эти значения в уравнение для $G(x)$:

$G(\log_2 3) = \frac{4^{\log_2 3}}{\ln 4} + C = 0$.

Для нахождения $C$ необходимо вычислить значение $4^{\log_2 3}$. Преобразуем это выражение, используя свойства степеней и логарифмов:

$4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = 2^{2\log_2 3} = 2^{\log_2 (3^2)} = 2^{\log_2 9}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$2^{\log_2 9} = 9$.

Теперь подставим найденное значение в уравнение для $C$:

$\frac{9}{\ln 4} + C = 0$.

Отсюда $C = -\frac{9}{\ln 4}$.

Подставляем значение $C$ в общий вид первообразной:

$G(x) = \frac{4^x}{\ln 4} - \frac{9}{\ln 4} = \frac{4^x - 9}{\ln 4}$.

Ответ: $G(x) = \frac{4^x - 9}{\ln 4}$.

2) Для функции $g(x) = \frac{2}{x-3}$ найдем общий вид первообразной $G(x)$ путем интегрирования. Используя табличный интеграл $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$, получаем:

$G(x) = \int \frac{2}{x-3} dx = 2 \int \frac{1}{x-3} d(x-3) = 2 \ln|x-3| + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

По условию, график первообразной проходит через точку $B(4; -2)$. Это означает, что $G(4) = -2$. Подставим эти значения в уравнение для $G(x)$:

$G(4) = 2 \ln|4-3| + C = -2$.

Вычислим значение выражения:

$2 \ln|1| + C = -2$.

Так как $\ln 1 = 0$, получаем:

$2 \cdot 0 + C = -2$.

Отсюда $C = -2$.

Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:

$G(x) = 2 \ln|x-3| - 2$.

Ответ: $G(x) = 2 \ln|x-3| - 2$.

15.14. Вычислите интеграл:

1) $\int_{0}^{\ln 2} e^{2x} dx$;

2) $\int_{0}^{\log_{3} 2} 3^{0.5x} dx$.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{\ln 2} e^{2x} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = e^{2x}$. По общей формуле интегрирования экспоненциальной функции $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$, где $C$ - константа.

В данном случае коэффициент $k=2$, следовательно, первообразная $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x}$.

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования в первообразную:

Значение на верхнем пределе ($x = \ln 2$):

$F(\ln 2) = \frac{1}{2}e^{2 \ln 2} = \frac{1}{2}e^{\ln 2^2} = \frac{1}{2}e^{\ln 4} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.

Значение на нижнем пределе ($x = 0$):

$F(0) = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} = \frac{1}{2}e^{0} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Теперь вычислим разность этих значений, чтобы найти значение интеграла:

$\int_{0}^{\ln 2} e^{2x} dx = F(\ln 2) - F(0) = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: $1.5$.

2) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{\log_3 2} 3^{0.5x} dx$ также применим формулу Ньютона-Лейбница.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = 3^{0.5x}$. По общей формуле интегрирования показательной функции $\int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} + C$, где $C$ - константа.

В данном случае основание $a=3$ и коэффициент $k=0.5$. Первообразная будет иметь вид:

$F(x) = \frac{3^{0.5x}}{0.5 \ln 3} = \frac{2 \cdot 3^{0.5x}}{\ln 3}$.

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

Значение на верхнем пределе ($x = \log_3 2$):

$F(\log_3 2) = \frac{2 \cdot 3^{0.5 \log_3 2}}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^{\log_3 2^{0.5}}}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^{\log_3 \sqrt{2}}}{\ln 3}$. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем: $F(\log_3 2) = \frac{2 \sqrt{2}}{\ln 3}$.

Значение на нижнем пределе ($x = 0$):

$F(0) = \frac{2 \cdot 3^{0.5 \cdot 0}}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^{0}}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 1}{\ln 3} = \frac{2}{\ln 3}$.

Вычислим разность этих значений:

$\int_{0}^{\log_3 2} 3^{0.5x} dx = F(\log_3 2) - F(0) = \frac{2 \sqrt{2}}{\ln 3} - \frac{2}{\ln 3} = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{\ln 3}$.

Ответ: $\frac{2(\sqrt{2} - 1)}{\ln 3}$.

15.15. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = -\frac{5}{x}$, $x = -1$, $x = -2$, $y = 2$;

2) $y = 4^x$, $x = 4$, $y = 4$.

1)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = -\frac{5}{x}$, $x = -1$, $x = -2$ и $y = 2$, необходимо сначала определить, какая из функций является верхней, а какая нижней границей на заданном интервале.

Рассмотрим интервал $x \in [-2, -1]$.

Найдем значения функции $y = -\frac{5}{x}$ на концах интервала:

При $x = -2$, $y = -\frac{5}{-2} = 2.5$.

При $x = -1$, $y = -\frac{5}{-1} = 5$.

Поскольку функция $y = -\frac{5}{x}$ является убывающей на интервале $(-\infty, 0)$, то для любого $x \in [-2, -1]$ значение $y$ будет лежать в промежутке $[2.5, 5]$. Следовательно, на всем интервале интегрирования линия $y = -\frac{5}{x}$ находится выше линии $y = 2$.

Площадь фигуры $S$ можно вычислить с помощью определенного интеграла как разность между верхней ($y_{верх} = -\frac{5}{x}$) и нижней ($y_{нижн} = 2$) функциями на интервале от $x=-2$ до $x=-1$:

$S = \int_{-2}^{-1} \left( \left(-\frac{5}{x}\right) - 2 \right) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \int_{-2}^{-1} \left(-\frac{5}{x} - 2\right) dx = \left[ -5\ln|x| - 2x \right]_{-2}^{-1}$

Подставим пределы интегрирования, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = (-5\ln|-1| - 2(-1)) - (-5\ln|-2| - 2(-2))$

$S = (-5\ln(1) + 2) - (-5\ln(2) + 4)$

Так как $\ln(1) = 0$, получаем:

$S = (0 + 2) - (-5\ln(2) + 4) = 2 + 5\ln(2) - 4 = 5\ln(2) - 2$

Ответ: $5\ln(2) - 2$

2)

Фигура ограничена линиями $y = 4^x$, $x = 4$ и $y = 4$.

Сначала найдем точки пересечения этих линий, чтобы определить пределы интегрирования.

Найдем точку пересечения кривой $y = 4^x$ и прямой $y = 4$:

$4^x = 4 \implies 4^x = 4^1 \implies x = 1$.

Таким образом, искомая фигура ограничена слева прямой $x=1$ (найденная абсцисса точки пересечения), справа прямой $x=4$, снизу прямой $y=4$ и сверху кривой $y=4^x$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней ($y_{верх} = 4^x$) и нижней ($y_{нижн} = 4$) функций на интервале от $x=1$ до $x=4$:

$S = \int_{1}^{4} (4^x - 4) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ \frac{4^x}{\ln 4} - 4x \right]_{1}^{4}$

Подставим пределы интегрирования:

$S = \left( \frac{4^4}{\ln 4} - 4 \cdot 4 \right) - \left( \frac{4^1}{\ln 4} - 4 \cdot 1 \right)$

$S = \left( \frac{256}{\ln 4} - 16 \right) - \left( \frac{4}{\ln 4} - 4 \right)$

$S = \frac{256}{\ln 4} - 16 - \frac{4}{\ln 4} + 4 = \frac{256 - 4}{\ln 4} - 12 = \frac{252}{\ln 4} - 12$

Можно упростить выражение, используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b\ln(a)$:

$\ln 4 = \ln(2^2) = 2\ln 2$

$S = \frac{252}{2\ln 2} - 12 = \frac{126}{\ln 2} - 12$

Ответ: $\frac{252}{\ln 4} - 12$ (или $\frac{126}{\ln 2} - 12$)