Номер 15.7, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите производные функции $y = f(x)$ (15.7–15.8):

15.7. 1) $f(x) = e^{x^2} \cos x;$

2) $f(x) = 5^{\frac{1}{x}} \cdot \operatorname{tg}x;$

3) $f(x) = x^2 \cdot \ln x;$

4) $f(x) = 3^{x^2} \cdot \ln x.$

1) Для нахождения производной функции $f(x) = e^x \cos x$, которая представляет собой произведение двух функций $u(x) = e^x$ и $v(x) = \cos x$, воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Сначала найдем производные каждой из функций:

Производная от $u(x) = e^x$ равна $u'(x) = (e^x)' = e^x$.

Производная от $v(x) = \cos x$ равна $v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Теперь подставим эти производные в формулу произведения:

$f'(x) = (e^x)' \cdot \cos x + e^x \cdot (\cos x)' = e^x \cos x + e^x(-\sin x)$.

Упростим полученное выражение, вынеся общий множитель $e^x$ за скобки:

$f'(x) = e^x(\cos x - \sin x)$.

Ответ: $f'(x) = e^x(\cos x - \sin x)$.

2) Дана функция $f(x) = 5^{\frac{1}{x}} \cdot \operatorname{tg}x$. Это произведение двух функций: $u(x) = 5^{\frac{1}{x}}$ и $v(x) = \operatorname{tg}x$. Применяем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производную $u'(x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило цепочки. Внешняя функция — $5^z$, внутренняя — $z(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$.

Производная внешней функции: $(5^z)' = 5^z \ln 5$.

Производная внутренней функции: $(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Тогда $u'(x) = (5^{\frac{1}{x}})' = 5^{\frac{1}{x}} \ln 5 \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{5^{\frac{1}{x}} \ln 5}{x^2}$.

Теперь найдем производную $v'(x)$: $v'(x) = (\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Подставляем найденные производные в правило произведения:

$f'(x) = \left(-\frac{5^{\frac{1}{x}} \ln 5}{x^2}\right) \cdot \operatorname{tg}x + 5^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.

Вынесем общий множитель $5^{\frac{1}{x}}$ за скобки для упрощения:

$f'(x) = 5^{\frac{1}{x}} \left(\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\ln 5 \cdot \operatorname{tg}x}{x^2}\right)$.

Ответ: $f'(x) = 5^{\frac{1}{x}} \left(\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\ln 5 \cdot \operatorname{tg}x}{x^2}\right)$.

3) Для функции $f(x) = x^2 \cdot \ln x$ также применяем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = x^2$ и $v(x) = \ln x$.

Найдем производные составляющих функций:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = (x^2)' \cdot \ln x + x^2 \cdot (\ln x)' = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x}$.

Упрощаем выражение:

$f'(x) = 2x \ln x + x$.

Можно вынести общий множитель $x$ за скобки:

$f'(x) = x(2 \ln x + 1)$.

Ответ: $f'(x) = x(2 \ln x + 1)$.

4) Дана функция $f(x) = 3^{x^2} \cdot \ln x$. Снова используем правило производной произведения для $u(x) = 3^{x^2}$ и $v(x) = \ln x$.

Найдем производную $u'(x)$. Это сложная функция, где внешняя функция $3^z$, а внутренняя $z(x) = x^2$.

Производная внешней функции: $(3^z)' = 3^z \ln 3$.

Производная внутренней функции: $(x^2)' = 2x$.

По правилу цепочки, $u'(x) = (3^{x^2})' = 3^{x^2} \ln 3 \cdot (2x) = 2x \cdot 3^{x^2} \ln 3$.

Производная $v(x) = \ln x$ равна $v'(x) = \frac{1}{x}$.

Применяем правило производной произведения:

$f'(x) = (2x \cdot 3^{x^2} \ln 3) \cdot \ln x + 3^{x^2} \cdot \frac{1}{x}$.

Вынесем общий множитель $3^{x^2}$ за скобки:

$f'(x) = 3^{x^2} \left(2x \ln 3 \ln x + \frac{1}{x}\right)$.

Ответ: $f'(x) = 3^{x^2} \left(2x \ln x \ln 3 + \frac{1}{x}\right)$.