Номер 15.12, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15.12. Исследуйте функцию $y = x \ln x$ и постройте ее график.

Проведем полное исследование функции $y = x \ln x$.

1. Область определения функции

Функция содержит натуральный логарифм $\ln x$, который определен только для положительных значений аргумента. Следовательно, $x > 0$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = (0, +\infty)$.

2. Четность и нечетность функции

Область определения $D(y) = (0, +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Функция является функцией общего вида.

Ответ: Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью Oy:

Для нахождения точки пересечения с осью Oy необходимо подставить $x=0$ в уравнение функции. Однако $x=0$ не входит в область определения функции, следовательно, график функции не пересекает ось Oy.

Пересечение с осью Ox:

Для нахождения точки пересечения с осью Ox необходимо решить уравнение $y=0$:

$x \ln x = 0$

Поскольку $x > 0$ по области определения, равенство возможно только при $\ln x = 0$, откуда $x = e^0 = 1$.

Точка пересечения с осью Ox: $(1, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью Ox - $(1, 0)$; пересечения с осью Oy нет.

4. Асимптоты графика функции

Вертикальные асимптоты:

Исследуем поведение функции на границе области определения, то есть при $x \to 0^+$.

$\lim_{x \to 0^+} x \ln x$

Это неопределенность вида $0 \cdot (-\infty)$. Преобразуем выражение и применим правило Лопиталя:

$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(\ln x)'}{(1/x)'} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$.

Поскольку предел конечен, вертикальной асимптоты нет. График функции начинается в точке $(0, 0)$ (не включая ее).

Наклонные асимптоты:

Ищем асимптоту вида $y = kx + b$ при $x \to +\infty$.

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x \ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.

Поскольку предел для $k$ не является конечным числом, наклонных (и горизонтальных) асимптот нет.

Ответ: Асимптот у графика функции нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума

Найдем первую производную функции:

$y' = (x \ln x)' = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \implies \ln x + 1 = 0 \implies \ln x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x = 1/e$ делит область определения $(0, +\infty)$.

При $x \in (0, 1/e)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.

При $x \in (1/e, +\infty)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

В точке $x = 1/e$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума.

Найдем значение функции в точке минимума:

$y_{min} = y(1/e) = \frac{1}{e} \ln(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e}$.

Точка минимума: $(1/e, -1/e)$. Приближенные значения: $(0.37, -0.37)$.

Ответ: Функция убывает на интервале $(0, 1/e]$ и возрастает на интервале $[1/e, +\infty)$. Точка минимума: $(1/e, -1/e)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную функции:

$y'' = (\ln x + 1)' = \frac{1}{x}$.

В области определения $D(y) = (0, +\infty)$ вторая производная $y'' = 1/x$ всегда положительна ($y'' > 0$).

Следовательно, функция является выпуклой вниз (вогнутой) на всей области определения.

Так как вторая производная нигде не обращается в ноль и не меняет знак, точек перегиба у графика функции нет.

Ответ: Функция выпукла вниз (вогнута) на всей области определения $(0, +\infty)$. Точек перегиба нет.

7. Построение графика

На основе проведенного исследования, построим график функции. Обобщим полученные данные:

- Область определения: $(0, +\infty)$.

- График начинается из точки $(0, 0)$ (выколотая точка).

- Убывает до точки минимума $(1/e, -1/e) \approx (0.37, -0.37)$.

- Пересекает ось Ox в точке $(1, 0)$.

- Далее возрастает до $+\infty$.

- Функция выпукла вниз на всей области определения.

- Асимптот нет.

Ответ: График функции построен на основе результатов исследования.