Номер 15.15, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15.15. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = -\frac{5}{x}$, $x = -1$, $x = -2$, $y = 2$;

2) $y = 4^x$, $x = 4$, $y = 4$.

1)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = -\frac{5}{x}$, $x = -1$, $x = -2$ и $y = 2$, необходимо сначала определить, какая из функций является верхней, а какая нижней границей на заданном интервале.

Рассмотрим интервал $x \in [-2, -1]$.

Найдем значения функции $y = -\frac{5}{x}$ на концах интервала:

При $x = -2$, $y = -\frac{5}{-2} = 2.5$.

При $x = -1$, $y = -\frac{5}{-1} = 5$.

Поскольку функция $y = -\frac{5}{x}$ является убывающей на интервале $(-\infty, 0)$, то для любого $x \in [-2, -1]$ значение $y$ будет лежать в промежутке $[2.5, 5]$. Следовательно, на всем интервале интегрирования линия $y = -\frac{5}{x}$ находится выше линии $y = 2$.

Площадь фигуры $S$ можно вычислить с помощью определенного интеграла как разность между верхней ($y_{верх} = -\frac{5}{x}$) и нижней ($y_{нижн} = 2$) функциями на интервале от $x=-2$ до $x=-1$:

$S = \int_{-2}^{-1} \left( \left(-\frac{5}{x}\right) - 2 \right) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \int_{-2}^{-1} \left(-\frac{5}{x} - 2\right) dx = \left[ -5\ln|x| - 2x \right]_{-2}^{-1}$

Подставим пределы интегрирования, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = (-5\ln|-1| - 2(-1)) - (-5\ln|-2| - 2(-2))$

$S = (-5\ln(1) + 2) - (-5\ln(2) + 4)$

Так как $\ln(1) = 0$, получаем:

$S = (0 + 2) - (-5\ln(2) + 4) = 2 + 5\ln(2) - 4 = 5\ln(2) - 2$

Ответ: $5\ln(2) - 2$

2)

Фигура ограничена линиями $y = 4^x$, $x = 4$ и $y = 4$.

Сначала найдем точки пересечения этих линий, чтобы определить пределы интегрирования.

Найдем точку пересечения кривой $y = 4^x$ и прямой $y = 4$:

$4^x = 4 \implies 4^x = 4^1 \implies x = 1$.

Таким образом, искомая фигура ограничена слева прямой $x=1$ (найденная абсцисса точки пересечения), справа прямой $x=4$, снизу прямой $y=4$ и сверху кривой $y=4^x$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней ($y_{верх} = 4^x$) и нижней ($y_{нижн} = 4$) функций на интервале от $x=1$ до $x=4$:

$S = \int_{1}^{4} (4^x - 4) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ \frac{4^x}{\ln 4} - 4x \right]_{1}^{4}$

Подставим пределы интегрирования:

$S = \left( \frac{4^4}{\ln 4} - 4 \cdot 4 \right) - \left( \frac{4^1}{\ln 4} - 4 \cdot 1 \right)$

$S = \left( \frac{256}{\ln 4} - 16 \right) - \left( \frac{4}{\ln 4} - 4 \right)$

$S = \frac{256}{\ln 4} - 16 - \frac{4}{\ln 4} + 4 = \frac{256 - 4}{\ln 4} - 12 = \frac{252}{\ln 4} - 12$

Можно упростить выражение, используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b\ln(a)$:

$\ln 4 = \ln(2^2) = 2\ln 2$

$S = \frac{252}{2\ln 2} - 12 = \frac{126}{\ln 2} - 12$

Ответ: $\frac{252}{\ln 4} - 12$ (или $\frac{126}{\ln 2} - 12$)