Номер 15.9, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15.9. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = e^x - ex$;

2) $f(x) = 2xe^x$.

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = e^x - ex$ необходимо исследовать знак ее производной.

Сначала найдем область определения функции. Функция определена для всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (e^x - ex)' = (e^x)' - (ex)' = e^x - e$.

Далее найдем критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $f'(x) = e^x - e$ определена на всей числовой оси. Приравняем ее к нулю:

$f'(x) = 0$

$e^x - e = 0$

$e^x = e$

$x = 1$

Критическая точка $x=1$ делит область определения на два промежутка: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.

Для промежутка $(-\infty; 1)$ возьмем пробную точку, например, $x=0$.

$f'(0) = e^0 - e = 1 - e$. Поскольку $e \approx 2.718$, то $1 - e < 0$. Следовательно, на промежутке $(-\infty; 1]$ функция убывает.

Для промежутка $(1; +\infty)$ возьмем пробную точку, например, $x=2$.

$f'(2) = e^2 - e = e(e - 1)$. Поскольку $e > 1$, то $e-1 > 0$, и $f'(2) > 0$. Следовательно, на промежутке $[1; +\infty)$ функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.

2) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = 2xe^x$ необходимо исследовать знак ее производной.

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (2xe^x)' = (2x)' \cdot e^x + 2x \cdot (e^x)' = 2e^x + 2xe^x = 2e^x(1 + x)$.

Далее найдем критические точки. Производная $f'(x) = 2e^x(1 + x)$ определена на всей числовой оси. Приравняем ее к нулю:

$f'(x) = 0$

$2e^x(1 + x) = 0$

Поскольку $2e^x > 0$ для любого действительного $x$, то равенство выполняется только когда:

$1 + x = 0$

$x = -1$

Критическая точка $x=-1$ делит область определения на два промежутка: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков. Знак производной $f'(x) = 2e^x(1+x)$ зависит только от знака множителя $(1+x)$, так как $2e^x$ всегда положителен.

Для промежутка $(-\infty; -1)$, если $x < -1$, то $1+x < 0$. Следовательно, $f'(x) < 0$, и функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$.

Для промежутка $(-1; +\infty)$, если $x > -1$, то $1+x > 0$. Следовательно, $f'(x) > 0$, и функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -1]$.