Номер 15.5, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15.5. Вычислите интеграл:

1) $ \int_{0}^{1} 2^x dx $;

2) $ \int_{0}^{1} e^x dx $;

3) $ \int_{1}^{3} 2^x dx $;

4) $ \int_{-2}^{-1} 3^x dx $.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} 2^x dx$ воспользуемся общей формулой для интеграла от показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ и формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразной для функции $f(x) = 2^x$ является функция $F(x) = \frac{2^x}{\ln 2}$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{0}^{1} 2^x dx = \left. \frac{2^x}{\ln 2} \right|_{0}^{1} = \frac{2^1}{\ln 2} - \frac{2^0}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{2-1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}$.

Ответ: $\frac{1}{\ln 2}$.

2) Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} e^x dx$.

Первообразная для функции натуральной экспоненты $f(x) = e^x$ — это сама функция $F(x) = e^x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{1} e^x dx = \left. e^x \right|_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$.

Ответ: $e - 1$.

3) Вычислим интеграл $\int_{1}^{3} 2^x dx$.

Первообразная для $f(x) = 2^x$ равна $F(x) = \frac{2^x}{\ln 2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{3} 2^x dx = \left. \frac{2^x}{\ln 2} \right|_{1}^{3} = \frac{2^3}{\ln 2} - \frac{2^1}{\ln 2} = \frac{8}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 2} = \frac{8-2}{\ln 2} = \frac{6}{\ln 2}$.

Ответ: $\frac{6}{\ln 2}$.

4) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} 3^x dx$.

Первообразная для функции $f(x) = 3^x$ равна $F(x) = \frac{3^x}{\ln 3}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{-1} 3^x dx = \left. \frac{3^x}{\ln 3} \right|_{-2}^{-1} = \frac{3^{-1}}{\ln 3} - \frac{3^{-2}}{\ln 3} = \frac{1/3}{\ln 3} - \frac{1/9}{\ln 3} = \frac{1}{\ln 3} \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{9}\right) = \frac{1}{\ln 3} \left(\frac{3}{9} - \frac{1}{9}\right) = \frac{1}{\ln 3} \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{9\ln 3}$.

Ответ: $\frac{2}{9\ln 3}$.