Номер 15.1, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите производные функции $y = f(x)$ (15.1-15.3):

15.1. 1) $f(x) = 3e^x + 3;$ 2) $f(x) = 5x + 3e^x;$

3) $f(x) = 5 - \frac{1}{2}e^x;$ 4) $f(x) = 5 \cdot e^{-x}.$

15.2. 1) $f(x) = $

1) Дана функция $f(x) = 3e^x + 3$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$, правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)' = c \cdot u'$, а также производную константы $(c)' = 0$ и производную экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$.

Применяем эти правила к функции:

$f'(x) = (3e^x + 3)' = (3e^x)' + (3)'$

Производная первого слагаемого: $(3e^x)' = 3 \cdot (e^x)' = 3e^x$.

Производная второго слагаемого (константы): $(3)' = 0$.

Следовательно, производная функции равна:

$f'(x) = 3e^x + 0 = 3e^x$.

Ответ: $3e^x$.

2) Дана функция $f(x) = 5x + 3e^x$.

Используем правило дифференцирования суммы, правило вынесения константы, а также производную степенной функции $(x)' = 1$ и экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$.

$f'(x) = (5x + 3e^x)' = (5x)' + (3e^x)'$

Производная первого слагаемого: $(5x)' = 5 \cdot (x)' = 5 \cdot 1 = 5$.

Производная второго слагаемого: $(3e^x)' = 3 \cdot (e^x)' = 3e^x$.

Складывая результаты, получаем:

$f'(x) = 5 + 3e^x$.

Ответ: $5 + 3e^x$.

3) Дана функция $f(x) = 5 - \frac{1}{2}e^x$.

Используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$ и другие известные правила.

$f'(x) = (5 - \frac{1}{2}e^x)' = (5)' - (\frac{1}{2}e^x)'$

Производная уменьшаемого (константы): $(5)' = 0$.

Производная вычитаемого: $(\frac{1}{2}e^x)' = \frac{1}{2} \cdot (e^x)' = \frac{1}{2}e^x$.

Таким образом, производная равна:

$f'(x) = 0 - \frac{1}{2}e^x = -\frac{1}{2}e^x$.

Ответ: $-\frac{1}{2}e^x$.

4) Дана функция $f(x) = 5e^{-x}$.

Для нахождения производной используем правило вынесения константы и правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Здесь внешняя функция $g(u) = e^u$, а внутренняя функция $h(x) = -x$.

Их производные: $g'(u) = e^u$ и $h'(x) = (-x)' = -1$.

Находим производную исходной функции:

$f'(x) = (5e^{-x})' = 5 \cdot (e^{-x})'$

Применяем цепное правило к $(e^{-x})'$:

$(e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.

Подставляем результат обратно:

$f'(x) = 5 \cdot (-e^{-x}) = -5e^{-x}$.

Ответ: $-5e^{-x}$.