Номер 14.7, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.7. Найдите область определения функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \log_{1,5}(x^2 - 4) + \log_3(9 - x^2)$;

2) $f(x) = \log_4 x^3 - \log_{1,8}(x^2 - x)$;

3) $f(x) = \log_{1,5} \frac{x^2 - 1}{x + 5} - \sqrt{x}$;

4) $f(x) = \log_{0,7} \frac{4 - x^2}{6 - x} + \log_6 x$.

1) Область определения функции $f(x) = \log_{1,5}(x^2 - 4) + \log_{3}(9 - x^2)$ находится как пересечение областей определения каждого слагаемого. Аргумент логарифмической функции должен быть строго больше нуля. Поэтому необходимо решить систему неравенств:

$\begin{cases}x^2 - 4 > 0 \\9 - x^2 > 0\end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 - 4 > 0$

$(x - 2)(x + 2) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$9 - x^2 > 0$

$x^2 < 9$

$|x| < 3$

Решением этого неравенства является интервал $x \in (-3, 3)$.

Теперь найдем пересечение полученных решений: $((-\infty, -2) \cup (2, +\infty)) \cap (-3, 3)$.

Пересечение дает нам два интервала: $(-3, -2)$ и $(2, 3)$.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-3, -2) \cup (2, 3)$.

Ответ: $D(f) = (-3, -2) \cup (2, 3)$.

2) Область определения функции $f(x) = \log_4(x^3) - \log_{1,8}(x^2 - x)$ определяется условиями, что аргументы обоих логарифмов должны быть положительными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases}x^3 > 0 \\x^2 - x > 0\end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^3 > 0$

Это неравенство справедливо при $x > 0$, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - x > 0$

$x(x - 1) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(0, +\infty) \cap ((-\infty, 0) \cup (1, +\infty))$.

Пересечение дает интервал $(1, +\infty)$.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (1, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (1, +\infty)$.

3) Функция $f(x) = \log_{1,5}\left(\frac{x^2 - 1}{x + 5}\right) - \sqrt{x}$ определена, если выполнены два условия: аргумент логарифма положителен, и подкоренное выражение неотрицательно. Составим систему неравенств:

$\begin{cases}\frac{x^2 - 1}{x + 5} > 0 \\x \ge 0\end{cases}$

Решим первое неравенство методом интервалов:

$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 5} > 0$

Нули числителя: $x = 1$, $x = -1$. Нуль знаменателя: $x = -5$.

На числовой оси отмечаем точки -5, -1, 1 и определяем знаки дроби в каждом из интервалов: $(-\infty, -5)$, $(-5, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$.

Дробь положительна на интервалах $x \in (-5, -1) \cup (1, +\infty)$.

Второе условие: $x \ge 0$, то есть $x \in [0, +\infty)$.

Найдем пересечение полученных множеств: $ ((-5, -1) \cup (1, +\infty)) \cap [0, +\infty)$.

Пересечение дает интервал $(1, +\infty)$.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (1, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (1, +\infty)$.

4) Область определения функции $f(x) = \log_{0,7}\left(\frac{4 - x^2}{6 - x}\right) + \log_6(x)$ определяется системой неравенств, так как аргументы обоих логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases}\frac{4 - x^2}{6 - x} > 0 \\x > 0\end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{(2 - x)(2 + x)}{6 - x} > 0$

Применим метод интервалов. Критические точки: $x = -2$, $x = 2$, $x = 6$.

Наносим точки на числовую прямую и определяем знаки выражения в интервалах: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, 6)$, $(6, +\infty)$.

Выражение положительно при $x \in (-2, 2) \cup (6, +\infty)$.

Второе условие: $x > 0$, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $ ((-2, 2) \cup (6, +\infty)) \cap (0, +\infty)$.

Пересечение интервала $(-2, 2)$ с $(0, +\infty)$ дает $(0, 2)$.

Пересечение интервала $(6, +\infty)$ с $(0, +\infty)$ дает $(6, +\infty)$.

Объединяя результаты, получаем область определения функции: $D(f) = (0, 2) \cup (6, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (0, 2) \cup (6, +\infty)$.