Номер 14.9, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.9. Постройте график функции $y = f(x)$ и перечислите ее свойства:

1) $f(x) = \log_4 (x + 3);$

2) $f(x) = -\log_2 x + 2;$

3) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} (x - 1);$

4) $f(x) = \log_{0,5} x - 3.$

14.10. Найдите число точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и

1) $f(x) = \log_4(x + 3)$

Построение графика:

График функции $y = \log_4(x + 3)$ получается из графика базовой функции $y = \log_4 x$ сдвигом влево вдоль оси абсцисс на 3 единицы. Исходный график $y = \log_4 x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точки $(1; 0)$ и $(4; 1)$, с вертикальной асимптотой $x = 0$. После сдвига асимптота становится $x = -3$, а точки смещаются в $(-2; 0)$ и $(1; 1)$ соответственно.

Свойства функции:

1. Область определения: $x + 3 > 0$, то есть $D(f) = (-3; +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Монотонность: функция возрастает на всей области определения, так как основание $4 > 1$.

4. Нули функции: $\log_4(x + 3) = 0 \implies x + 3 = 1 \implies x = -2$.

5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x > -2$; $f(x) < 0$ при $-3 < x < -2$.

6. Асимптоты: вертикальная асимптота $x = -3$.

7. Четность: функция общего вида, так как область определения не симметрична относительно начала координат.

8. Экстремумы: отсутствуют.

Ответ: График строится сдвигом $y = \log_4 x$ на 3 единицы влево. Свойства: $D(f) = (-3; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, функция возрастающая, нуль $x=-2$, асимптота $x=-3$, общего вида, без экстремумов.

2) $f(x) = -\log_2 x + 2$

Построение графика:

График функции $y = -\log_2 x + 2$ получается из графика $y = \log_2 x$ двумя преобразованиями: симметричным отражением относительно оси Ox и сдвигом вверх на 2 единицы. Исходный график $y = \log_2 x$ проходит через $(1; 0)$ и $(2; 1)$. После отражения ($y = -\log_2 x$) он будет проходить через $(1; 0)$ и $(2; -1)$, становясь убывающим. После сдвига вверх ($y = -\log_2 x + 2$) точки сместятся в $(1; 2)$ и $(2; 1)$. Вертикальная асимптота $x = 0$ не изменяется.

Свойства функции:

1. Область определения: $x > 0$, то есть $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Монотонность: функция убывает на всей области определения (отражение возрастающей функции).

4. Нули функции: $-\log_2 x + 2 = 0 \implies \log_2 x = 2 \implies x = 4$.

5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $0 < x < 4$; $f(x) < 0$ при $x > 4$.

6. Асимптоты: вертикальная асимптота $x = 0$.

7. Четность: функция общего вида.

8. Экстремумы: отсутствуют.

Ответ: График строится отражением $y = \log_2 x$ относительно оси Ox и сдвигом на 2 единицы вверх. Свойства: $D(f) = (0; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, функция убывающая, нуль $x=4$, асимптота $x=0$, общего вида, без экстремумов.

3) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x - 1)$

Построение графика:

График функции $y = \log_{\frac{1}{3}}(x - 1)$ получается из графика базовой функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ сдвигом вправо вдоль оси абсцисс на 1 единицу. Исходный график $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ — это убывающая кривая (основание $0 < \frac{1}{3} < 1$), проходящая через точки $(1; 0)$ и $(3; -1)$, с вертикальной асимптотой $x = 0$. После сдвига асимптота становится $x = 1$, а точки смещаются в $(2; 0)$ и $(4; -1)$.

Свойства функции:

1. Область определения: $x - 1 > 0$, то есть $D(f) = (1; +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Монотонность: функция убывает на всей области определения, так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$.

4. Нули функции: $\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) = 0 \implies x - 1 = 1 \implies x = 2$.

5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $1 < x < 2$; $f(x) < 0$ при $x > 2$.

6. Асимптоты: вертикальная асимптота $x = 1$.

7. Четность: функция общего вида.

8. Экстремумы: отсутствуют.

Ответ: График строится сдвигом $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ на 1 единицу вправо. Свойства: $D(f) = (1; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, функция убывающая, нуль $x=2$, асимптота $x=1$, общего вида, без экстремумов.

4) $f(x) = \log_{0.5} x - 3$

Построение графика:

График функции $y = \log_{0.5} x - 3$ получается из графика базовой функции $y = \log_{0.5} x$ сдвигом вниз вдоль оси ординат на 3 единицы. Исходный график $y = \log_{0.5} x$ — это убывающая кривая (основание $0 < 0.5 < 1$), проходящая через точки $(1; 0)$ и $(2; -1)$. После сдвига вниз точки сместятся в $(1; -3)$ и $(2; -4)$. Вертикальная асимптота $x = 0$ не изменяется.

Свойства функции:

1. Область определения: $x > 0$, то есть $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Монотонность: функция убывает на всей области определения, так как основание $0 < 0.5 < 1$.

4. Нули функции: $\log_{0.5} x - 3 = 0 \implies \log_{0.5} x = 3 \implies x = (0.5)^3 = \frac{1}{8}$.

5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $0 < x < \frac{1}{8}$; $f(x) < 0$ при $x > \frac{1}{8}$.

6. Асимптоты: вертикальная асимптота $x = 0$.

7. Четность: функция общего вида.

8. Экстремумы: отсутствуют.

Ответ: График строится сдвигом $y = \log_{0.5} x$ на 3 единицы вниз. Свойства: $D(f) = (0; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, функция убывающая, нуль $x=\frac{1}{8}$, асимптота $x=0$, общего вида, без экстремумов.