Номер 15.4, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15.4. Напишите общий вид первообразной для функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 3e^x$;

2) $f(x) = 2 \cdot 5^x$;

3) $f(x) = 7 \cdot 4^x$;

4) $f(x) = 1 + 2^x$.

1) Чтобы найти общий вид первообразной для функции $f(x) = 3e^x$, нужно найти ее неопределенный интеграл. Обозначим первообразную как $F(x)$.

$F(x) = \int 3e^x dx$

Используя свойство интеграла, вынесем константу за его знак:

$F(x) = 3 \int e^x dx$

По таблице интегралов, первообразная для функции $e^x$ равна самой себе, то есть $e^x$.

$F(x) = 3e^x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = 3e^x + C$.

2) Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 2 \cdot 5^x$.

$F(x) = \int 2 \cdot 5^x dx$

Вынесем константу 2 за знак интеграла:

$F(x) = 2 \int 5^x dx$

Для нахождения интеграла от показательной функции $a^x$ используется формула $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$. В нашем случае $a=5$.

$F(x) = 2 \cdot \frac{5^x}{\ln 5} + C = \frac{2 \cdot 5^x}{\ln 5} + C$

Ответ: $F(x) = \frac{2 \cdot 5^x}{\ln 5} + C$.

3) Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 7 \cdot 4^x$.

$F(x) = \int 7 \cdot 4^x dx$

Вынесем константу 7 за знак интеграла:

$F(x) = 7 \int 4^x dx$

Используем ту же формулу для интеграла от показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$, где $a=4$.

$F(x) = 7 \cdot \frac{4^x}{\ln 4} + C = \frac{7 \cdot 4^x}{\ln 4} + C$

Ответ: $F(x) = \frac{7 \cdot 4^x}{\ln 4} + C$.

4) Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 1 + 2^x$.

$F(x) = \int (1 + 2^x) dx$

Используя свойство аддитивности интеграла, разобьем его на два интеграла:

$F(x) = \int 1 dx + \int 2^x dx$

Первообразная для константы 1 равна $x$.

Первообразная для $2^x$ находится по формуле $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$, где $a=2$. Таким образом, $\int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2}$.

Сложив результаты и добавив константу интегрирования $C$, получаем:

$F(x) = x + \frac{2^x}{\ln 2} + C$

Ответ: $F(x) = x + \frac{2^x}{\ln 2} + C$.