Номер 15.8, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15.8. 1) $f(x) = (5^x + 4) \cdot x^3;$

2) $f(x) = \sqrt{x} \cdot \log_2 x;$

3) $f(x) = x^2 \cdot e^{5x};$

4) $f(x) = x^2 \cdot 2^{-x}.$

1) Для нахождения производной функции $f(x) = (5^x + 4) \cdot x^3$ используется правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 5^x + 4$ и $v(x) = x^3$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (5^x + 4)' = (5^x)' + (4)' = 5^x \ln 5 + 0 = 5^x \ln 5$.

$v'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

Теперь подставим найденные производные в формулу произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (5^x \ln 5) \cdot x^3 + (5^x + 4) \cdot 3x^2$.

Упростим выражение:

$f'(x) = x^3 \cdot 5^x \ln 5 + 3x^2(5^x + 4) = x^3 \cdot 5^x \ln 5 + 3x^2 \cdot 5^x + 12x^2$.

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$f'(x) = x^2(x \cdot 5^x \ln 5 + 3 \cdot 5^x + 12)$.

Ответ: $f'(x) = x^2(x \cdot 5^x \ln 5 + 3 \cdot 5^x + 12)$.

2) Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{x} \cdot \log_2 x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^{1/2} \cdot \log_2 x$.

Пусть $u(x) = x^{1/2}$ и $v(x) = \log_2 x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$v'(x) = (\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$.

Подставим в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \log_2 x + x^{1/2} \cdot \frac{1}{x \ln 2}$.

Упростим выражение:

$f'(x) = \frac{\log_2 x}{2\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{x \ln 2} = \frac{\log_2 x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} \ln 2}$.

Приведем к общему знаменателю $2\sqrt{x} \ln 2$. Для этого домножим первую дробь на $\ln 2$, а вторую на 2:

$f'(x) = \frac{\log_2 x \cdot \ln 2}{2\sqrt{x} \ln 2} + \frac{2}{2\sqrt{x} \ln 2} = \frac{\log_2 x \cdot \ln 2 + 2}{2\sqrt{x} \ln 2}$.

Используя свойство логарифмов $\log_a b \cdot \ln a = \ln b$, получим $\log_2 x \cdot \ln 2 = \ln x$.

$f'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x} \ln 2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x} \ln 2}$.

3) Для нахождения производной функции $f(x) = x^2 \cdot e^{5x}$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ и правилом дифференцирования сложной функции.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^{5x}$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

$v'(x) = (e^{5x})'$. Это сложная функция, ее производная равна $(e^{5x})' = e^{5x} \cdot (5x)' = e^{5x} \cdot 5 = 5e^{5x}$.

Подставим в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x \cdot e^{5x} + x^2 \cdot 5e^{5x}$.

Упростим выражение, вынеся за скобки общий множитель $xe^{5x}$:

$f'(x) = xe^{5x}(2 + 5x)$.

Ответ: $f'(x) = xe^{5x}(2 + 5x)$.

4) Для нахождения производной функции $f(x) = x^2 \cdot 2^{-x}$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ и правилом дифференцирования сложной функции.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = 2^{-x}$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

$v'(x) = (2^{-x})'$. Это сложная функция, ее производная равна $(2^{-x})' = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-x)' = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-1) = -2^{-x} \ln 2$.

Подставим в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x \cdot 2^{-x} + x^2 \cdot (-2^{-x} \ln 2)$.

Упростим выражение, вынеся за скобки общий множитель $x \cdot 2^{-x}$:

$f'(x) = x \cdot 2^{-x}(2 - x \ln 2)$.

Ответ: $f'(x) = x \cdot 2^{-x}(2 - x \ln 2)$.