Номер 15.10, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15.10. Найдите точки экстремума функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = e^x - x$;

2) $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} - \left(\frac{1}{2}\right)^x$.

1) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = e^x - x$ воспользуемся алгоритмом исследования функции с помощью производной.

Шаг 1: Находим область определения функции. Функция $f(x)$ определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Шаг 2: Находим производную функции.$f'(x) = (e^x - x)' = (e^x)' - (x)' = e^x - 1$.

Шаг 3: Находим критические точки. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $f'(x) = e^x - 1$ существует для всех $x$. Приравняем производную к нулю:$f'(x) = 0$$e^x - 1 = 0$$e^x = 1$$x = \ln(1)$$x = 0$Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x = 0$.

Шаг 4: Определяем знаки производной на интервалах, на которые критическая точка делит область определения.Рассмотрим интервал $(-\infty; 0)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = -1$.$f'(-1) = e^{-1} - 1 = \frac{1}{e} - 1$. Так как $e \approx 2.718$, то $\frac{1}{e} < 1$, следовательно, $f'(-1) < 0$. Значит, на интервале $(-\infty; 0)$ функция убывает.

Рассмотрим интервал $(0; +\infty)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = 1$.$f'(1) = e^1 - 1 = e - 1$. Так как $e > 1$, то $f'(1) > 0$. Значит, на интервале $(0; +\infty)$ функция возрастает.

Шаг 5: Делаем вывод о наличии экстремума.В точке $x = 0$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, $x = 0$ является точкой минимума.Ответ: $x_{min} = 0$.

2) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = (\frac{1}{2})^{2x} - (\frac{1}{2})^x$ следуем тому же алгоритму.

Шаг 1: Находим область определения функции. Функция является показательной и определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Шаг 2: Находим производную функции. Используем формулу производной показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.$f'(x) = ((\frac{1}{2})^{2x} - (\frac{1}{2})^x)' = ((\frac{1}{2})^{2x})' - ((\frac{1}{2})^x)'$$f'(x) = (\frac{1}{2})^{2x} \ln(\frac{1}{2}) \cdot (2x)' - (\frac{1}{2})^x \ln(\frac{1}{2}) \cdot (x)'$$f'(x) = 2 \cdot (\frac{1}{2})^{2x} \ln(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^x \ln(\frac{1}{2})$Вынесем общий множитель $\ln(\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})^x$ за скобки:$f'(x) = \ln(\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})^x (2(\frac{1}{2})^x - 1)$.

Шаг 3: Находим критические точки. Производная существует для всех $x$. Приравняем производную к нулю:$\ln(\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})^x (2(\frac{1}{2})^x - 1) = 0$.Так как $\ln(\frac{1}{2}) = -\ln 2 \neq 0$ и $(\frac{1}{2})^x > 0$ для любого $x$, равенство возможно только если:$2(\frac{1}{2})^x - 1 = 0$$2(\frac{1}{2})^x = 1$$(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{2}$$x = 1$.Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x = 1$.

Шаг 4: Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.Знак $f'(x)$ определяется знаком выражения $2(\frac{1}{2})^x - 1$, так как $\ln(\frac{1}{2}) < 0$ и $(\frac{1}{2})^x > 0$.Рассмотрим интервал $(-\infty; 1)$. Возьмем $x = 0$.$2(\frac{1}{2})^0 - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1 > 0$.Тогда $f'(0) = \ln(\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2})^0 \cdot (1) = \ln(\frac{1}{2}) < 0$. На этом интервале функция убывает.

Рассмотрим интервал $(1; +\infty)$. Возьмем $x = 2$.$2(\frac{1}{2})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} < 0$.Тогда $f'(2) = \ln(\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (-\frac{1}{2}) > 0$. На этом интервале функция возрастает.

Шаг 5: Делаем вывод о наличии экстремума.В точке $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, $x = 1$ является точкой минимума.Ответ: $x_{min} = 1$.