Номер 15.3, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15.3. 1) $f(x) = \ln x \cdot \sin x;$

2) $f(x) = \ln x^3 + 4 \cdot 6^x;$

3) $f(x) = x^2 \ln(x^2 - 10);$

4) $f(x) = 5 \cdot \ln(x - x^3) \cdot \cos x.$

1) Для нахождения производной функции $f(x) = \ln x \cdot \sin x$ мы используем правило дифференцирования произведения двух функций $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = \ln x$ и $v(x) = \sin x$.

Сначала найдем производные этих функций:

$u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Теперь подставим эти значения в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = (\ln x)' \cdot \sin x + \ln x \cdot (\sin x)' = \frac{1}{x} \cdot \sin x + \ln x \cdot \cos x$.

Таким образом, производная равна $f'(x) = \frac{\sin x}{x} + \cos x \ln x$.

Ответ: $f'(x) = \frac{\sin x}{x} + \cos x \ln x$.

2) Для нахождения производной функции $f(x) = \ln x^3 + 4 \cdot 6^x$ мы воспользуемся правилом дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы равна сумме производных: $f'(x) = (\ln x^3)' + (4 \cdot 6^x)'$.

Для первого слагаемого используем свойство логарифма $\ln a^b = b \ln a$, чтобы упростить выражение: $\ln x^3 = 3 \ln x$. Тогда его производная:

$(3 \ln x)' = 3 \cdot (\ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$.

Для второго слагаемого используем правило дифференцирования показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$ и вынесение константы за знак производной:

$(4 \cdot 6^x)' = 4 \cdot (6^x)' = 4 \cdot 6^x \ln 6$.

Складывая полученные результаты, получаем итоговую производную:

$f'(x) = \frac{3}{x} + 4 \cdot 6^x \ln 6$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{x} + 4 \cdot 6^x \ln 6$.

3) Для нахождения производной функции $f(x) = x^2 \ln(x^2 - 10)$ мы применяем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Здесь $u(x) = x^2$ и $v(x) = \ln(x^2 - 10)$.

Находим производную $u(x)$:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), где $(\ln g(x))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$:

$v'(x) = (\ln(x^2 - 10))' = \frac{(x^2 - 10)'}{x^2 - 10} = \frac{2x}{x^2 - 10}$.

Теперь подставляем всё в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 2x \cdot \ln(x^2 - 10) + x^2 \cdot \frac{2x}{x^2 - 10} = 2x \ln(x^2 - 10) + \frac{2x^3}{x^2 - 10}$.

Ответ: $f'(x) = 2x \ln(x^2 - 10) + \frac{2x^3}{x^2 - 10}$.

4) Для нахождения производной функции $f(x) = 5 \cdot \ln(x - x^3) \cdot \cos x$ мы выносим константу $5$ за знак производной и используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ для функций $u(x) = \ln(x - x^3)$ и $v(x) = \cos x$.

$f'(x) = 5 \cdot ( \ln(x - x^3) \cdot \cos x )'$.

Находим производную $u(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$u'(x) = (\ln(x - x^3))' = \frac{(x - x^3)'}{x - x^3} = \frac{1 - 3x^2}{x - x^3}$.

Находим производную $v(x)$:

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Применяем правило произведения и умножаем на $5$:

$f'(x) = 5 \cdot (u'v + uv') = 5 \left( \frac{1 - 3x^2}{x - x^3} \cdot \cos x + \ln(x - x^3) \cdot (-\sin x) \right)$.

Раскрывая скобки, получаем окончательный вид производной:

$f'(x) = \frac{5(1 - 3x^2)\cos x}{x - x^3} - 5 \sin x \ln(x - x^3)$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5(1 - 3x^2)\cos x}{x - x^3} - 5 \sin x \ln(x - x^3)$.