Страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Почему формула производной показательной функции $y = a^x$ имеет частный случай? Ответ обоснуйте.

2. Какое свойство логарифма используется при выведении формулы производной логарифмической функции?

1. Почему формула производной показательной функции y = a^x имеет частный случай? Ответ обоснуйте.

Общая формула для производной показательной функции $y = a^x$ (при условии, что $a > 0$ и $a \neq 1$) имеет вид: $(a^x)' = a^x \ln a$.

Эта формула имеет важный частный случай, когда основание $a$ равно числу Эйлера $e$, которое является иррациональной константой, приблизительно равной $2.71828$. В этом случае показательная функция записывается как $y = e^x$.

Применим общую формулу производной для этого случая, подставив $a = e$:

$(e^x)' = e^x \ln e$.

Ключевым моментом здесь является значение натурального логарифма $\ln e$. По определению, натуральный логарифм — это логарифм по основанию $e$. Таким образом, $\ln e$ — это степень, в которую нужно возвести $e$, чтобы получить $e$. Очевидно, эта степень равна 1, то есть $\ln e = 1$.

В результате этого формула производной значительно упрощается:

$(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$.

Таким образом, частный случай возникает при $a = e$, потому что производная функции $y = e^x$ равна самой функции. Это уникальное свойство, которое выполняется только тогда, когда множитель $\ln a$ в общей формуле равен единице, что справедливо исключительно для $a=e$.

Ответ: Частный случай формулы производной показательной функции возникает при основании $a=e$ (число Эйлера). В этом случае, поскольку натуральный логарифм числа $e$ равен единице ($\ln e = 1$), общая формула $(a^x)' = a^x \ln a$ упрощается до вида $(e^x)' = e^x$.

2. Какое свойство логарифма используется при выведении формулы производной логарифмической функции?

При выведении формулы производной для логарифмической функции $y = \log_a x$ на основе определения производной через предел, $y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a(x + \Delta x) - \log_a(x)}{\Delta x}$, на первом же шаге используется ключевое свойство логарифмов.

Это свойство разности логарифмов, которое также называют свойством логарифма частного. Оно гласит:

$\log_a M - \log_a N = \log_a \frac{M}{N}$.

Применение этого свойства к числителю в определении производной позволяет преобразовать разность двух логарифмов в один логарифм:

$\log_a(x + \Delta x) - \log_a(x) = \log_a \left( \frac{x + \Delta x}{x} \right) = \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right)$.

Это преобразование является основополагающим, так как оно позволяет свести выражение под знаком предела к конструкции, которая приводит ко второму замечательному пределу. Хотя в дальнейших шагах вывода используются и другие свойства (например, свойство логарифма степени), именно свойство разности логарифмов является отправной точкой всего вывода.

Ответ: При выведении формулы производной логарифмической функции используется свойство разности логарифмов (или логарифма частного): $\log_a M - \log_a N = \log_a \frac{M}{N}$.

Найдите производные функции $y = f(x)$ (15.1-15.3):

15.1. 1) $f(x) = 3e^x + 3;$ 2) $f(x) = 5x + 3e^x;$

3) $f(x) = 5 - \frac{1}{2}e^x;$ 4) $f(x) = 5 \cdot e^{-x}.$

15.2. 1) $f(x) = $

1) Дана функция $f(x) = 3e^x + 3$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$, правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)' = c \cdot u'$, а также производную константы $(c)' = 0$ и производную экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$.

Применяем эти правила к функции:

$f'(x) = (3e^x + 3)' = (3e^x)' + (3)'$

Производная первого слагаемого: $(3e^x)' = 3 \cdot (e^x)' = 3e^x$.

Производная второго слагаемого (константы): $(3)' = 0$.

Следовательно, производная функции равна:

$f'(x) = 3e^x + 0 = 3e^x$.

Ответ: $3e^x$.

2) Дана функция $f(x) = 5x + 3e^x$.

Используем правило дифференцирования суммы, правило вынесения константы, а также производную степенной функции $(x)' = 1$ и экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$.

$f'(x) = (5x + 3e^x)' = (5x)' + (3e^x)'$

Производная первого слагаемого: $(5x)' = 5 \cdot (x)' = 5 \cdot 1 = 5$.

Производная второго слагаемого: $(3e^x)' = 3 \cdot (e^x)' = 3e^x$.

Складывая результаты, получаем:

$f'(x) = 5 + 3e^x$.

Ответ: $5 + 3e^x$.

3) Дана функция $f(x) = 5 - \frac{1}{2}e^x$.

Используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$ и другие известные правила.

$f'(x) = (5 - \frac{1}{2}e^x)' = (5)' - (\frac{1}{2}e^x)'$

Производная уменьшаемого (константы): $(5)' = 0$.

Производная вычитаемого: $(\frac{1}{2}e^x)' = \frac{1}{2} \cdot (e^x)' = \frac{1}{2}e^x$.

Таким образом, производная равна:

$f'(x) = 0 - \frac{1}{2}e^x = -\frac{1}{2}e^x$.

Ответ: $-\frac{1}{2}e^x$.

4) Дана функция $f(x) = 5e^{-x}$.

Для нахождения производной используем правило вынесения константы и правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Здесь внешняя функция $g(u) = e^u$, а внутренняя функция $h(x) = -x$.

Их производные: $g'(u) = e^u$ и $h'(x) = (-x)' = -1$.

Находим производную исходной функции:

$f'(x) = (5e^{-x})' = 5 \cdot (e^{-x})'$

Применяем цепное правило к $(e^{-x})'$:

$(e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.

Подставляем результат обратно:

$f'(x) = 5 \cdot (-e^{-x}) = -5e^{-x}$.

Ответ: $-5e^{-x}$.

15.2. 1) $f(x) = e^x \cdot \sin x;$

2) $f(x) = e^{2x} + 2 \cdot 2x;$

3) $f(x) = x^2 e^{3x};$

4) $f(x) = 5 \cdot e^x \cdot \cos x;$

1) Чтобы найти производную функции $f(x) = e^x \cdot \sin x$, мы используем правило дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = \sin x$.

Находим производные этих функций: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Теперь подставляем эти значения в формулу производной произведения:

$f'(x) = (e^x)' \cdot \sin x + e^x \cdot (\sin x)' = e^x \sin x + e^x \cos x$.

Можно вынести общий множитель $e^x$ за скобки: $f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$.

Ответ: $f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$.

2) Чтобы найти производную функции $f(x) = e^{2x} + 2 \cdot 2^x$, мы используем правило дифференцирования суммы: $(g+h)' = g' + h'$.

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

Для первого слагаемого $g(x) = e^{2x}$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Производная внешней функции $(e^u)' = e^u$ и производная внутренней функции $(2x)' = 2$.

$g'(x) = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$.

Для второго слагаемого $h(x) = 2 \cdot 2^x$ используем правило дифференцирования показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$.

$h'(x) = (2 \cdot 2^x)' = 2 \cdot (2^x)' = 2 \cdot 2^x \ln 2$.

Складываем производные: $f'(x) = g'(x) + h'(x) = 2e^{2x} + 2 \cdot 2^x \ln 2$.

Ответ: $f'(x) = 2e^{2x} + 2 \cdot 2^x \ln 2$.

3) Чтобы найти производную функции $f(x) = x^2 e^{3x}$, мы снова используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^{3x}$.

Находим производные: $u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Для $v(x) = e^{3x}$ используем цепное правило: $v'(x) = (e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = 3e^{3x}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = (x^2)' \cdot e^{3x} + x^2 \cdot (e^{3x})' = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x}$.

Вынесем общий множитель $xe^{3x}$ за скобки: $f'(x) = xe^{3x}(2 + 3x)$.

Ответ: $f'(x) = xe^{3x}(2 + 3x)$.

4) Чтобы найти производную функции $f(x) = 5 \cdot e^x \cdot \cos x$, мы используем правило дифференцирования произведения и вынесение константы за знак производной: $(c \cdot uv)' = c \cdot (u'v + uv')$.

Пусть константа $c=5$, $u(x) = e^x$ и $v(x) = \cos x$.

Находим производные: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = 5 \cdot \left((e^x)' \cdot \cos x + e^x \cdot (\cos x)'\right) = 5 \cdot (e^x \cos x + e^x (-\sin x))$.

Упрощаем выражение: $f'(x) = 5(e^x \cos x - e^x \sin x)$.

Вынесем общий множитель $e^x$ за скобки: $f'(x) = 5e^x(\cos x - \sin x)$.

Ответ: $f'(x) = 5e^x(\cos x - \sin x)$.

15.3. 1) $f(x) = \ln x \cdot \sin x;$

2) $f(x) = \ln x^3 + 4 \cdot 6^x;$

3) $f(x) = x^2 \ln(x^2 - 10);$

4) $f(x) = 5 \cdot \ln(x - x^3) \cdot \cos x.$

1) Для нахождения производной функции $f(x) = \ln x \cdot \sin x$ мы используем правило дифференцирования произведения двух функций $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = \ln x$ и $v(x) = \sin x$.

Сначала найдем производные этих функций:

$u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Теперь подставим эти значения в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = (\ln x)' \cdot \sin x + \ln x \cdot (\sin x)' = \frac{1}{x} \cdot \sin x + \ln x \cdot \cos x$.

Таким образом, производная равна $f'(x) = \frac{\sin x}{x} + \cos x \ln x$.

Ответ: $f'(x) = \frac{\sin x}{x} + \cos x \ln x$.

2) Для нахождения производной функции $f(x) = \ln x^3 + 4 \cdot 6^x$ мы воспользуемся правилом дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы равна сумме производных: $f'(x) = (\ln x^3)' + (4 \cdot 6^x)'$.

Для первого слагаемого используем свойство логарифма $\ln a^b = b \ln a$, чтобы упростить выражение: $\ln x^3 = 3 \ln x$. Тогда его производная:

$(3 \ln x)' = 3 \cdot (\ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$.

Для второго слагаемого используем правило дифференцирования показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$ и вынесение константы за знак производной:

$(4 \cdot 6^x)' = 4 \cdot (6^x)' = 4 \cdot 6^x \ln 6$.

Складывая полученные результаты, получаем итоговую производную:

$f'(x) = \frac{3}{x} + 4 \cdot 6^x \ln 6$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{x} + 4 \cdot 6^x \ln 6$.

3) Для нахождения производной функции $f(x) = x^2 \ln(x^2 - 10)$ мы применяем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Здесь $u(x) = x^2$ и $v(x) = \ln(x^2 - 10)$.

Находим производную $u(x)$:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), где $(\ln g(x))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$:

$v'(x) = (\ln(x^2 - 10))' = \frac{(x^2 - 10)'}{x^2 - 10} = \frac{2x}{x^2 - 10}$.

Теперь подставляем всё в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 2x \cdot \ln(x^2 - 10) + x^2 \cdot \frac{2x}{x^2 - 10} = 2x \ln(x^2 - 10) + \frac{2x^3}{x^2 - 10}$.

Ответ: $f'(x) = 2x \ln(x^2 - 10) + \frac{2x^3}{x^2 - 10}$.

4) Для нахождения производной функции $f(x) = 5 \cdot \ln(x - x^3) \cdot \cos x$ мы выносим константу $5$ за знак производной и используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ для функций $u(x) = \ln(x - x^3)$ и $v(x) = \cos x$.

$f'(x) = 5 \cdot ( \ln(x - x^3) \cdot \cos x )'$.

Находим производную $u(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$u'(x) = (\ln(x - x^3))' = \frac{(x - x^3)'}{x - x^3} = \frac{1 - 3x^2}{x - x^3}$.

Находим производную $v(x)$:

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Применяем правило произведения и умножаем на $5$:

$f'(x) = 5 \cdot (u'v + uv') = 5 \left( \frac{1 - 3x^2}{x - x^3} \cdot \cos x + \ln(x - x^3) \cdot (-\sin x) \right)$.

Раскрывая скобки, получаем окончательный вид производной:

$f'(x) = \frac{5(1 - 3x^2)\cos x}{x - x^3} - 5 \sin x \ln(x - x^3)$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5(1 - 3x^2)\cos x}{x - x^3} - 5 \sin x \ln(x - x^3)$.