Страница 91 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Почему график логарифмической функции расположен только в правой части координатной плоскости относительно оси $Oy$?

2. Какому условию должны удовлетворять логарифмируемые выражения?

3. В чем сходство показательной и логарифмической функций?

4. Имеются ли различия у показательной и логарифмической функций во множестве значений?

1. Почему график логарифмической функции расположен только в правой части координатной плоскости относительно оси Oy?Логарифмическая функция вида $y = \log_a x$ по определению является обратной к показательной функции $x = a^y$. В показательной функции основание $a$ является положительным числом, не равным единице ($a > 0, a \neq 1$). При возведении положительного числа $a$ в любую действительную степень $y$, результат $x$ всегда будет строго положительным числом ($x > 0$). Поскольку $x$ в логарифмической функции — это то же самое число, что и результат показательной, то оно должно быть больше нуля. Область определения логарифмической функции — это множество всех положительных действительных чисел, то есть $x \in (0, +\infty)$. На координатной плоскости этому условию соответствуют точки, расположенные справа от оси ординат (оси Oy).

Ответ: График логарифмической функции расположен в правой полуплоскости, так как ее область определения состоит только из положительных чисел ($x > 0$).

2. Какому условию должны удовлетворять логарифмируемые выражения?Логарифмируемое выражение, то есть выражение, стоящее под знаком логарифма (аргумент логарифма), должно быть строго положительным. Для логарифма $\log_a B$ должны выполняться следующие условия: аргумент $B > 0$, а основание $a > 0$ и $a \neq 1$. Вопрос касается именно логарифмируемого выражения, поэтому ключевое условие — это его строгая положительность.

Ответ: Логарифмируемое выражение должно быть строго больше нуля.

3. В чем сходство показательной и логарифмической функций?Сходства между показательной функцией $y = a^x$ и логарифмической функцией $y = \log_a x$ заключаются в следующем:

1. Они являются взаимно обратными функциями, их графики симметричны относительно прямой $y = x$.

2. Обе функции имеют основание $a$, на которое накладываются одинаковые ограничения: $a > 0$ и $a \neq 1$.

3. Обе функции являются монотонными на всей своей области определения. Если основание $a > 1$, обе функции возрастают. Если $0 < a < 1$, обе функции убывают.

4. Обе функции непрерывны на своей области определения и не имеют точек экстремума.

5. Показательная функция всегда проходит через точку $(0, 1)$, а логарифмическая — через точку $(1, 0)$.

Ответ: Основные сходства: взаимная обратность, одинаковые требования к основанию, монотонность и непрерывность на всей области определения.

4. Имеются ли различия у показательной и логарифмической функций во множестве значений?Да, различия во множестве значений (области значений) существенны.

Для показательной функции $y = a^x$ множеством значений являются все положительные действительные числа, то есть $E(y) = (0, +\infty)$. Это означает, что график функции полностью лежит выше оси абсцисс (оси Ox).

Для логарифмической функции $y = \log_a x$ множеством значений являются все действительные числа, то есть $E(y) = (-\infty, +\infty)$. Это означает, что функция может принимать любые значения, как положительные, так и отрицательные, и ее график простирается от $-\infty$ до $+\infty$ вдоль оси ординат. Таким образом, область значений одной функции является областью определения для другой, и наоборот.

Ответ: Да, имеются. Множество значений показательной функции — это все положительные числа ($y > 0$), а логарифмической — все действительные числа ($y \in \mathbb{R}$).

Найдите области определения функции $y = g(x)$ (14.1–14.2):

14.1. 1) $g(x) = \log_3 (3 + 4x);$ 2) $g(x) = \log_{\frac{1}{4}} (7 - 2x);$

3) $g(x) = \log_{5.2} (8 - 5x);$ 4) $g(x) = \log_{0.7} (x^2 - 49).$

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, то есть $f(x) > 0$. Основание логарифма $a$ должно быть больше нуля и не равно единице ($a > 0, a \neq 1$). Во всех представленных задачах основания являются числами и удовлетворяют этим условиям.

1) g(x) = log₃(3 + 4x)

Чтобы найти область определения данной функции, необходимо решить неравенство:

$3 + 4x > 0$

Перенесем 3 в правую часть неравенства:

$4x > -3$

Разделим обе части на 4:

$x > -{3 \over 4}$

$x > -0.75$

Следовательно, область определения функции — это интервал от -0.75 до плюс бесконечности.

Ответ: $x \in (-0.75; +\infty)$.

2) g(x) = log₁/₄(7 - 2x)

Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Составим и решим неравенство:

$7 - 2x > 0$

Перенесем 7 в правую часть:

$-2x > -7$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < {-7 \over -2}$

$x < 3.5$

Таким образом, область определения функции — это интервал от минус бесконечности до 3.5.

Ответ: $x \in (-\infty; 3.5)$.

3) g(x) = log₅,₂(8 - 5x)

Находим область определения из условия, что аргумент логарифма больше нуля:

$8 - 5x > 0$

Переносим 8 в правую часть:

$-5x > -8$

Делим обе части на -5, меняя знак неравенства:

$x < {-8 \over -5}$

$x < 1.6$

Область определения функции — это интервал от минус бесконечности до 1.6.

Ответ: $x \in (-\infty; 1.6)$.

4) g(x) = log₀,₇(x² - 49)

Для нахождения области определения решим квадратное неравенство:

$x^2 - 49 > 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:

$(x - 7)(x + 7) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x - 7)(x + 7) = 0$ равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 7$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 7)$ и $(7; +\infty)$.

Выражение $(x - 7)(x + 7)$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, поэтому оно принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Неравенство выполняется, когда $x < -7$ или $x > 7$.

Область определения функции — это объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (7; +\infty)$.

14.2. 1) $g(x) = \log_{0.12}(7 + 6x - x^2)$;

2) $g(x) = \log_{\sqrt{3}} \frac{x+8}{2x-7}$;

3) $g(x) = \lg \frac{3x+15}{4-x}$;

4) $g(x) = \ln (x^2 + x - 12)$.

14.3. П

1) Для нахождения области определения функции $g(x) = \log_{0.12}(7 + 6x - x^2)$ необходимо, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля.

Составим и решим неравенство:

$7 + 6x - x^2 > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 6x - 7 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 7$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 6x - 7$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 6x - 7 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-1; 7)$.

Ответ: $x \in (-1; 7)$.

2) Область определения функции $g(x) = \log_{\sqrt{3}} \frac{x+8}{2x-7}$ определяется условием, что аргумент логарифма должен быть положительным. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Решим неравенство:

$\frac{x+8}{2x-7} > 0$

Для решения используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$.

Нуль знаменателя: $2x - 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3.5$.

Нанесем эти точки на числовую прямую и определим знаки выражения в полученных интервалах: $(-\infty; -8)$, $(-8; 3.5)$ и $(3.5; +\infty)$.

При $x > 3.5$ (например, $x=4$), выражение $\frac{4+8}{2(4)-7} > 0$.

При $-8 < x < 3.5$ (например, $x=0$), выражение $\frac{0+8}{0-7} < 0$.

При $x < -8$ (например, $x=-10$), выражение $\frac{-10+8}{2(-10)-7} > 0$.

Неравенство выполняется на интервалах, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (3.5; +\infty)$.

3) Для функции $g(x) = \lg \frac{3x+15}{4-x}$ (десятичный логарифм) область определения задается неравенством:

$\frac{3x+15}{4-x} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов.

Найдем нули числителя и знаменателя:

Числитель: $3x + 15 = 0 \Rightarrow 3x = -15 \Rightarrow x = -5$.

Знаменатель: $4 - x = 0 \Rightarrow x = 4$.

Отметим точки -5 и 4 на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала.

Определим знак дроби в каждом интервале:

При $x > 4$ (например, $x=5$), $\frac{3(5)+15}{4-5} < 0$.

При $-5 < x < 4$ (например, $x=0$), $\frac{15}{4} > 0$.

При $x < -5$ (например, $x=-6$), $\frac{3(-6)+15}{4-(-6)} < 0$.

Неравенство верно на интервале, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-5; 4)$.

4) Область определения функции $g(x) = \ln(x^2 + x - 12)$ (натуральный логарифм) находится из условия, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

Составим и решим неравенство:

$x^2 + x - 12 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 12 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 + x - 12$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения за пределами интервала между своими корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (3; +\infty)$.

14.3. Перечислите свойства функции $y = f(x)$, график которой изображен на рисунке 48:

1)

2)

Рис. 48

1) Свойства функции $y = \log_{\frac{1}{2}}(x+2)$:

1. Область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x+2 > 0$, откуда $x > -2$. Таким образом, область определения $D(f) = (-2; +\infty)$.

2. Область значений функции. Областью значений логарифмической функции является множество всех действительных чисел: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Монотонность. Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$, и так как $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей своей области определения, то есть на интервале $(-2; +\infty)$.

4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Найдем значение $x$, при котором $y=0$:

$\log_{\frac{1}{2}}(x+2) = 0$

$x+2 = (\frac{1}{2})^0$

$x+2 = 1$

$x = -1$

График пересекает ось Ox в точке $(-1; 0)$.

5. Точка пересечения с осью Oy. Найдем значение $y$, при котором $x=0$:

$y = \log_{\frac{1}{2}}(0+2) = \log_{\frac{1}{2}}(2) = -1$

График пересекает ось Oy в точке $(0; -1)$.

6. Промежутки знакопостоянства.

Функция положительна ($y>0$), когда $\log_{\frac{1}{2}}(x+2) > 0$. Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется: $x+2 < 1$, то есть $x < -1$. С учетом области определения, $y>0$ при $x \in (-2; -1)$.

Функция отрицательна ($y<0$), когда $x > -1$. С учетом области определения, $y<0$ при $x \in (-1; +\infty)$.

7. Асимптоты. График функции имеет вертикальную асимптоту $x = -2$.

8. Четность. Область определения $D(f) = (-2; +\infty)$ несимметрична относительно нуля, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

9. Ограниченность. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу, так как ее область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-2; +\infty)$; область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$; функция является убывающей на всей области определения; нуль функции $x=-1$; $y>0$ при $x \in (-2; -1)$ и $y<0$ при $x \in (-1; +\infty)$; вертикальная асимптота $x=-2$; функция общего вида.

2) Свойства функции $y = \log_{\frac{1}{3}}(x-2)$:

1. Область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x-2 > 0$, откуда $x > 2$. Таким образом, область определения $D(f) = (2; +\infty)$.

2. Область значений функции. Областью значений логарифмической функции является множество всех действительных чисел: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Монотонность. Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$, и так как $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей своей области определения, то есть на интервале $(2; +\infty)$.

4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Найдем значение $x$, при котором $y=0$:

$\log_{\frac{1}{3}}(x-2) = 0$

$x-2 = (\frac{1}{3})^0$

$x-2 = 1$

$x = 3$

График пересекает ось Ox в точке $(3; 0)$.

5. Точка пересечения с осью Oy. Так как $x=0$ не входит в область определения функции, график не пересекает ось Oy.

6. Промежутки знакопостоянства.

Функция положительна ($y>0$), когда $\log_{\frac{1}{3}}(x-2) > 0$. Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется: $x-2 < 1$, то есть $x < 3$. С учетом области определения, $y>0$ при $x \in (2; 3)$.

Функция отрицательна ($y<0$), когда $x > 3$. С учетом области определения, $y<0$ при $x \in (3; +\infty)$.

7. Асимптоты. График функции имеет вертикальную асимптоту $x = 2$.

8. Четность. Область определения $D(f) = (2; +\infty)$ несимметрична относительно нуля, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

9. Ограниченность. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу, так как ее область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (2; +\infty)$; область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$; функция является убывающей на всей области определения; нуль функции $x=3$; $y>0$ при $x \in (2; 3)$ и $y<0$ при $x \in (3; +\infty)$; вертикальная асимптота $x=2$; функция общего вида.

Сравните выражения (14.4-14.5):

14.4. 1) $\log_4 5.8$ и $\log_4 8.1$;

2) $\log_{\frac{1}{5}} 0.25$ и $\log_{\frac{1}{5}} 0.36$;

3) $\log_{6.5} \frac{5}{6}$ и $\log_{6.5} \frac{1}{6}$;

4) $\log_{\sqrt{3}} 5$ и $\log_{\sqrt{3}} 4$.

1) Для сравнения выражений $\log_4 5.8$ и $\log_4 8.1$ необходимо проанализировать основание логарифмической функции. Основание $a = 4$. Так как $a > 1$ ($4 > 1$), логарифмическая функция $y = \log_4 x$ является возрастающей. На области определения для возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Сравним аргументы логарифмов: $5.8 < 8.1$. Поскольку функция возрастающая, то и значения логарифмов будут находиться в том же соотношении. Следовательно, $\log_4 5.8 < \log_4 8.1$.

Ответ: $\log_4 5.8 < \log_4 8.1$.

2) Для сравнения выражений $\log_{1/5} 0.25$ и $\log_{1/5} 0.36$ рассмотрим основание логарифма. Основание $a = \frac{1}{5}$. Так как $0 < a < 1$ ($0 < \frac{1}{5} < 1$), логарифмическая функция $y = \log_{1/5} x$ является убывающей. На области определения для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Сравним аргументы: $0.25 < 0.36$. Поскольку функция убывающая, знак неравенства для значений логарифмов будет противоположным. Таким образом, $\log_{1/5} 0.25 > \log_{1/5} 0.36$.

Ответ: $\log_{1/5} 0.25 > \log_{1/5} 0.36$.

3) Сравним выражения $\log_{6.5} \frac{5}{6}$ и $\log_{6.5} \frac{1}{6}$. Основание логарифма $a = 6.5$. Поскольку $a > 1$ ($6.5 > 1$), логарифмическая функция $y = \log_{6.5} x$ является возрастающей. Это означает, что знак неравенства для логарифмов будет таким же, как и для их аргументов. Сравним аргументы: $\frac{5}{6}$ и $\frac{1}{6}$. Так как у дробей одинаковый знаменатель, сравниваем числители: $5 > 1$. Следовательно, $\frac{5}{6} > \frac{1}{6}$. Поскольку функция возрастающая, то и $\log_{6.5} \frac{5}{6} > \log_{6.5} \frac{1}{6}$.

Ответ: $\log_{6.5} \frac{5}{6} > \log_{6.5} \frac{1}{6}$.

4) Сравним выражения $\log_{\sqrt{3}} 5$ и $\log_{\sqrt{3}} 4$. Основание логарифма $a = \sqrt{3}$. Поскольку $1 < 3 < 4$, то $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, что означает $1 < \sqrt{3} < 2$. Так как основание $a = \sqrt{3} > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\sqrt{3}} x$ является возрастающей. Сравним аргументы: $5 > 4$. Так как функция возрастающая, знак неравенства сохраняется. Следовательно, $\log_{\sqrt{3}} 5 > \log_{\sqrt{3}} 4$.

Ответ: $\log_{\sqrt{3}} 5 > \log_{\sqrt{3}} 4$.