Номер 14.1, страница 91 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите области определения функции $y = g(x)$ (14.1–14.2):

14.1. 1) $g(x) = \log_3 (3 + 4x);$ 2) $g(x) = \log_{\frac{1}{4}} (7 - 2x);$

3) $g(x) = \log_{5.2} (8 - 5x);$ 4) $g(x) = \log_{0.7} (x^2 - 49).$

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, то есть $f(x) > 0$. Основание логарифма $a$ должно быть больше нуля и не равно единице ($a > 0, a \neq 1$). Во всех представленных задачах основания являются числами и удовлетворяют этим условиям.

1) g(x) = log₃(3 + 4x)

Чтобы найти область определения данной функции, необходимо решить неравенство:

$3 + 4x > 0$

Перенесем 3 в правую часть неравенства:

$4x > -3$

Разделим обе части на 4:

$x > -{3 \over 4}$

$x > -0.75$

Следовательно, область определения функции — это интервал от -0.75 до плюс бесконечности.

Ответ: $x \in (-0.75; +\infty)$.

2) g(x) = log₁/₄(7 - 2x)

Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Составим и решим неравенство:

$7 - 2x > 0$

Перенесем 7 в правую часть:

$-2x > -7$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < {-7 \over -2}$

$x < 3.5$

Таким образом, область определения функции — это интервал от минус бесконечности до 3.5.

Ответ: $x \in (-\infty; 3.5)$.

3) g(x) = log₅,₂(8 - 5x)

Находим область определения из условия, что аргумент логарифма больше нуля:

$8 - 5x > 0$

Переносим 8 в правую часть:

$-5x > -8$

Делим обе части на -5, меняя знак неравенства:

$x < {-8 \over -5}$

$x < 1.6$

Область определения функции — это интервал от минус бесконечности до 1.6.

Ответ: $x \in (-\infty; 1.6)$.

4) g(x) = log₀,₇(x² - 49)

Для нахождения области определения решим квадратное неравенство:

$x^2 - 49 > 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:

$(x - 7)(x + 7) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x - 7)(x + 7) = 0$ равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 7$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 7)$ и $(7; +\infty)$.

Выражение $(x - 7)(x + 7)$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, поэтому оно принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Неравенство выполняется, когда $x < -7$ или $x > 7$.

Область определения функции — это объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (7; +\infty)$.