Номер 14.8, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.8. Найдите множество значений функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = -\log_5(x + 1)$;

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(1 + x) + 5$;

3) $f(x) = |\log_7(x + 1)|$;

4) $f(x) = |\lg x| + 6$.

1) f(x) = -log₅(x + 1)

Рассмотрим базовую логарифмическую функцию $g(x) = \log_5(x)$. Множество значений этой функции — все действительные числа, то есть $E(g) = (-\infty; +\infty)$.

Функция $h(x) = \log_5(x+1)$ является результатом сдвига графика функции $g(x)$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Такой сдвиг не влияет на множество значений, поэтому множество значений функции $h(x)$ также $(-\infty; +\infty)$.

Функция $f(x) = -\log_5(x+1)$ является результатом симметричного отражения графика функции $h(x)$ относительно оси абсцисс. Если множество значений $h(x)$ — это все действительные числа, то и после отражения оно останется прежним, то есть $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) f(x) = log₁/₃(1 + x) + 5

Рассмотрим базовую логарифмическую функцию $g(x) = \log_{1/3}(x)$. Так как основание логарифма $1/3$ находится в интервале $(0; 1)$, множество значений этой функции — все действительные числа, $E(g) = (-\infty; +\infty)$.

Функция $h(x) = \log_{1/3}(1+x)$ получается из $g(x)$ сдвигом влево на 1, что не меняет множество значений. $E(h) = (-\infty; +\infty)$.

Функция $f(x) = \log_{1/3}(1+x) + 5$ является результатом сдвига графика функции $h(x)$ на 5 единиц вверх вдоль оси ординат. Если к каждому значению из множества $(-\infty; +\infty)$ прибавить 5, множество не изменится.

Ответ: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3) f(x) = |log₇(x + 1)|

Сначала найдем множество значений функции $h(x) = \log_7(x+1)$. Основание логарифма $7 > 1$, поэтому, как и в предыдущих примерах, множество значений этой функции — все действительные числа, $E(h) = (-\infty; +\infty)$.

Функция $f(x) = |h(x)|$ — это модуль функции $h(x)$. Модуль любого действительного числа является неотрицательным числом. Так как $h(x)$ принимает все действительные значения, то $|h(x)|$ будет принимать все неотрицательные значения.

Наименьшее значение равно 0 (когда $\log_7(x+1) = 0$, то есть при $x=0$). Верхней границы нет. Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это промежуток $[0; +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [0; +\infty)$.

4) f(x) = |lgx| + 6

Рассмотрим функцию $g(x) = \lg x$ (десятичный логарифм, $\log_{10}x$). Множество её значений — все действительные числа, $E(g) = (-\infty; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $h(x) = |\lg x|$. Так как $g(x)$ принимает все действительные значения, модуль этой функции, $h(x)$, будет принимать все неотрицательные значения. Таким образом, $E(h) = [0; +\infty)$.

Функция $f(x) = |\lg x| + 6$ получается из $h(x)$ сдвигом на 6 единиц вверх. Если к каждому значению из промежутка $[0; +\infty)$ прибавить 6, получим промежуток $[0+6; +\infty+6)$, то есть $[6; +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [6; +\infty)$.