Номер 14.2, страница 91 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.2. 1) $g(x) = \log_{0.12}(7 + 6x - x^2)$;

2) $g(x) = \log_{\sqrt{3}} \frac{x+8}{2x-7}$;

3) $g(x) = \lg \frac{3x+15}{4-x}$;

4) $g(x) = \ln (x^2 + x - 12)$.

14.3. П

1) Для нахождения области определения функции $g(x) = \log_{0.12}(7 + 6x - x^2)$ необходимо, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля.

Составим и решим неравенство:

$7 + 6x - x^2 > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 6x - 7 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 7$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 6x - 7$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 6x - 7 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-1; 7)$.

Ответ: $x \in (-1; 7)$.

2) Область определения функции $g(x) = \log_{\sqrt{3}} \frac{x+8}{2x-7}$ определяется условием, что аргумент логарифма должен быть положительным. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Решим неравенство:

$\frac{x+8}{2x-7} > 0$

Для решения используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$.

Нуль знаменателя: $2x - 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3.5$.

Нанесем эти точки на числовую прямую и определим знаки выражения в полученных интервалах: $(-\infty; -8)$, $(-8; 3.5)$ и $(3.5; +\infty)$.

При $x > 3.5$ (например, $x=4$), выражение $\frac{4+8}{2(4)-7} > 0$.

При $-8 < x < 3.5$ (например, $x=0$), выражение $\frac{0+8}{0-7} < 0$.

При $x < -8$ (например, $x=-10$), выражение $\frac{-10+8}{2(-10)-7} > 0$.

Неравенство выполняется на интервалах, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (3.5; +\infty)$.

3) Для функции $g(x) = \lg \frac{3x+15}{4-x}$ (десятичный логарифм) область определения задается неравенством:

$\frac{3x+15}{4-x} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов.

Найдем нули числителя и знаменателя:

Числитель: $3x + 15 = 0 \Rightarrow 3x = -15 \Rightarrow x = -5$.

Знаменатель: $4 - x = 0 \Rightarrow x = 4$.

Отметим точки -5 и 4 на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала.

Определим знак дроби в каждом интервале:

При $x > 4$ (например, $x=5$), $\frac{3(5)+15}{4-5} < 0$.

При $-5 < x < 4$ (например, $x=0$), $\frac{15}{4} > 0$.

При $x < -5$ (например, $x=-6$), $\frac{3(-6)+15}{4-(-6)} < 0$.

Неравенство верно на интервале, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-5; 4)$.

4) Область определения функции $g(x) = \ln(x^2 + x - 12)$ (натуральный логарифм) находится из условия, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

Составим и решим неравенство:

$x^2 + x - 12 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 12 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 + x - 12$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения за пределами интервала между своими корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (3; +\infty)$.