Номер 14.6, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.6. Найдите, сколько точек пересечения имеют графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$:

1) $f(x) = \lg x$ и $g(x) = x$;

2) $f(x) = \lg x$ и $g(x) = -x$;

3) $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = x^2$;

4) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $g(x) = -x^2$.

1) f(x) = lg x и g(x) = x

Чтобы найти количество точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$, необходимо определить количество действительных корней уравнения $f(x)=g(x)$. В данном случае получаем уравнение $\lg x = x$.

Область определения логарифмической функции требует, чтобы $x > 0$.Рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = x - \lg x$. Количество точек пересечения равно количеству решений уравнения $h(x) = 0$.Для анализа поведения функции $h(x)$ найдем ее производную:$h'(x) = (x - \lg x)' = (x - \frac{\ln x}{\ln 10})' = 1 - \frac{1}{x \ln 10}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$h'(x) = 0 \implies 1 - \frac{1}{x \ln 10} = 0 \implies x \ln 10 = 1 \implies x = \frac{1}{\ln 10}$.Это точка минимума, так как вторая производная $h''(x) = (\frac{1}{x^2 \ln 10})$ положительна при $x > 0$.

Найдем минимальное значение функции $h(x)$ в точке $x_0 = \frac{1}{\ln 10}$:$h(x_0) = \frac{1}{\ln 10} - \lg\left(\frac{1}{\ln 10}\right) = \frac{1}{\ln 10} - (-\lg(\ln 10)) = \frac{1}{\ln 10} + \frac{\ln(\ln 10)}{\ln 10} = \frac{1 + \ln(\ln 10)}{\ln 10}$.Так как $\ln 10 \approx 2.302 > 1$, то $\ln(\ln 10) > \ln(1) = 0$.Следовательно, числитель $1 + \ln(\ln 10)$ положителен, и знаменатель $\ln 10$ положителен. Таким образом, минимальное значение функции $h(x)$ больше нуля.

Это означает, что $h(x) = x - \lg x > 0$ для всех $x > 0$, и уравнение $\lg x = x$ не имеет действительных корней. Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: 0

2) f(x) = lg x и g(x) = -x

Необходимо найти количество решений уравнения $\lg x = -x$. Область определения: $x > 0$.Рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = \lg x + x$. Количество точек пересечения равно количеству корней уравнения $h(x) = 0$.

Функция $y_1 = \lg x$ является строго возрастающей на всей своей области определения $(0, +\infty)$.Функция $y_2 = x$ также является строго возрастающей.Их сумма $h(x) = \lg x + x$ также является строго возрастающей функцией.

Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза, то есть уравнение $h(x)=0$ может иметь не более одного корня.

Исследуем поведение функции $h(x)$ на границах области определения:При $x \to 0^+$, $\lg x \to -\infty$, следовательно, $h(x) \to -\infty$.При $x \to +\infty$, $\lg x \to +\infty$ и $x \to +\infty$, следовательно, $h(x) \to +\infty$.

Так как функция $h(x)$ непрерывна на $(0, +\infty)$ и ее значения изменяются от $-\infty$ до $+\infty$, по теореме о промежуточном значении, она должна принять значение $0$ хотя бы в одной точке. Поскольку функция строго возрастает, такая точка единственна.

Таким образом, существует ровно одна точка пересечения.

Ответ: 1

3) f(x) = log₂x и g(x) = x²

Необходимо найти количество решений уравнения $\log_2 x = x^2$. Область определения: $x > 0$.Рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = \log_2 x - x^2$. Ищем количество корней уравнения $h(x) = 0$.Найдем производную функции $h(x)$:$h'(x) = (\log_2 x - x^2)' = \frac{1}{x \ln 2} - 2x$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$\frac{1}{x \ln 2} - 2x = 0 \implies \frac{1}{x \ln 2} = 2x \implies 1 = 2x^2 \ln 2 \implies x^2 = \frac{1}{2 \ln 2}$.Так как $x > 0$, существует единственная критическая точка $x_0 = \sqrt{\frac{1}{2 \ln 2}} = \frac{1}{\sqrt{\ln 4}}$.

Найдем вторую производную: $h''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln 2} - 2$.При $x > 0$ значение $h''(x)$ всегда отрицательно. Это означает, что функция $h(x)$ является вогнутой, а в критической точке $x_0$ достигается глобальный максимум.

Найдем максимальное значение функции $h(x)$:$h(x_0) = \log_2(x_0) - x_0^2$.Мы знаем, что $x_0^2 = \frac{1}{\ln 4}$.$\log_2(x_0) = \log_2\left(\frac{1}{\sqrt{\ln 4}}\right) = -\frac{1}{2}\log_2(\ln 4) = -\frac{1}{2} \frac{\ln(\ln 4)}{\ln 2} = -\frac{\ln(\ln 4)}{\ln 4}$.Тогда максимальное значение:$h(x_0) = -\frac{\ln(\ln 4)}{\ln 4} - \frac{1}{\ln 4} = -\frac{1 + \ln(\ln 4)}{\ln 4}$.

Так как $\ln 4 \approx 1.386 > 1$, то $\ln(\ln 4) > 0$.Следовательно, числитель $1 + \ln(\ln 4)$ положителен, знаменатель $\ln 4$ также положителен. Вся дробь положительна. Из-за знака минус перед дробью, максимальное значение $h(x_0)$ отрицательно.

Поскольку максимальное значение функции $h(x)$ отрицательно, то $h(x) = \log_2 x - x^2 < 0$ для всех $x > 0$. Уравнение $\log_2 x = x^2$ не имеет действительных корней, и графики не пересекаются.

Ответ: 0

4) f(x) = log₁/₃x и g(x) = -x²

Необходимо найти количество решений уравнения $\log_{\frac{1}{3}} x = -x^2$. Область определения: $x > 0$.Преобразуем уравнение, используя свойство логарифма $\log_{1/a} b = -\log_a b$:$-\log_3 x = -x^2 \implies \log_3 x = x^2$.

Эта задача аналогична предыдущей, только с основанием логарифма 3 вместо 2. Рассмотрим функцию $h(x) = \log_3 x - x^2$.Ее производная: $h'(x) = \frac{1}{x \ln 3} - 2x$.Приравнивая к нулю, находим критическую точку: $x_0 = \sqrt{\frac{1}{2 \ln 3}} = \frac{1}{\sqrt{\ln 9}}$.Вторая производная $h''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln 3} - 2$ всегда отрицательна для $x > 0$, значит, в точке $x_0$ достигается глобальный максимум.

Найдем максимальное значение $h(x_0) = \log_3(x_0) - x_0^2$:$x_0^2 = \frac{1}{\ln 9}$.$\log_3(x_0) = \log_3\left(\frac{1}{\sqrt{\ln 9}}\right) = -\frac{1}{2}\log_3(\ln 9) = -\frac{\ln(\ln 9)}{2\ln 3} = -\frac{\ln(\ln 9)}{\ln 9}$.$h(x_0) = -\frac{\ln(\ln 9)}{\ln 9} - \frac{1}{\ln 9} = -\frac{1 + \ln(\ln 9)}{\ln 9}$.

Так как $\ln 9 \approx 2.197 > 1$, то $\ln(\ln 9) > 0$.Числитель $1 + \ln(\ln 9)$ и знаменатель $\ln 9$ положительны. Следовательно, максимальное значение $h(x_0)$ отрицательно.

Это означает, что $\log_3 x - x^2 < 0$ для всех $x > 0$. Уравнение $\log_3 x = x^2$ (и, следовательно, исходное уравнение) не имеет решений. Графики функций не пересекаются.

Ответ: 0