Номер 14.10, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.10. Найдите число точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x):$

1) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $g(x) = x - 1;$

2) $f(x) = \lg x$ и $g(x) = x + 1;$

3) $f(x) = \log_5 x$ и $g(x) = 7 + x;$

4) $f(x) = \log_{0.5} x$ и $g(x) = 2 - x.$

1) Чтобы найти число точек пересечения графиков функций $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $g(x) = x - 1$, нужно найти количество решений уравнения $f(x) = g(x)$, то есть $\log_{\frac{1}{2}} x = x - 1$.

Область определения логарифмической функции: $x > 0$.

Проанализируем поведение функций. Функция $y = f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей на всей своей области определения, так как ее основание $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Функция $y = g(x) = x - 1$ является возрастающей, так как это линейная функция с положительным угловым коэффициентом $k=1$.

Возрастающая и убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Проверим, существует ли такая точка, подобрав возможное значение $x$.

Пусть $x=1$. Тогда:

$f(1) = \log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$

$g(1) = 1 - 1 = 0$

Поскольку $f(1) = g(1)$, $x=1$ является решением уравнения. Так как это единственно возможное решение, графики функций имеют одну точку пересечения.

Ответ: 1

2) Найдем число решений уравнения $\lg x = x + 1$.

Область определения: $x > 0$.

Обе функции, $f(x) = \lg x$ (логарифм по основанию 10) и $g(x) = x + 1$, являются возрастающими. График функции $f(x)$ является вогнутым (выпуклым вверх), а график $g(x)$ — прямая. Такая комбинация может иметь 0, 1 или 2 точки пересечения.

Рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = g(x) - f(x) = x + 1 - \lg x$. Число точек пересечения исходных графиков равно числу корней уравнения $h(x) = 0$.

Найдем производную функции $h(x)$:

$h'(x) = (x + 1 - \lg x)' = 1 - \frac{1}{x \ln 10}$

Найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю: $h'(x) = 0$.

$1 - \frac{1}{x \ln 10} = 0 \implies x \ln 10 = 1 \implies x = \frac{1}{\ln 10}$

При $0 < x < \frac{1}{\ln 10}$, $h'(x) < 0$, функция $h(x)$ убывает. При $x > \frac{1}{\ln 10}$, $h'(x) > 0$, функция $h(x)$ возрастает. Следовательно, в точке $x = \frac{1}{\ln 10}$ функция $h(x)$ достигает своего минимума.

Найдем минимальное значение функции:

$h_{min} = h(\frac{1}{\ln 10}) = \frac{1}{\ln 10} + 1 - \lg(\frac{1}{\ln 10}) = \frac{1}{\ln 10} + 1 + \lg(\ln 10)$

Так как $\ln 10 \approx 2.3 > 1$, то все три слагаемых положительны: $\frac{1}{\ln 10} > 0$, $1 > 0$, и $\lg(\ln 10) > \lg 1 = 0$. Сумма положительных чисел положительна, значит $h_{min} > 0$.

Поскольку минимальное значение функции $h(x)$ строго больше нуля, то $h(x) > 0$ для всех $x > 0$. Уравнение $h(x) = 0$ не имеет решений. Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: 0

3) Найдем число решений уравнения $\log_5 x = 7 + x$.

Область определения: $x > 0$.

Обе функции, $f(x) = \log_5 x$ и $g(x) = 7 + x$, являются возрастающими. Решим задачу, проанализировав вспомогательную функцию $h(x) = g(x) - f(x) = 7 + x - \log_5 x$.

Найдем производную:

$h'(x) = (7 + x - \log_5 x)' = 1 - \frac{1}{x \ln 5}$

Найдем точку минимума из условия $h'(x) = 0$:

$1 - \frac{1}{x \ln 5} = 0 \implies x \ln 5 = 1 \implies x = \frac{1}{\ln 5}$

Аналогично предыдущему пункту, это точка минимума. Найдем минимальное значение функции:

$h_{min} = h(\frac{1}{\ln 5}) = 7 + \frac{1}{\ln 5} - \log_5(\frac{1}{\ln 5}) = 7 + \frac{1}{\ln 5} + \log_5(\ln 5)$

Так как $\ln 5 \approx 1.6 > 1$, то слагаемые $\frac{1}{\ln 5}$ и $\log_5(\ln 5)$ положительны. Следовательно, $h_{min} = 7 + (\text{положительное число}) + (\text{положительное число}) > 7$.

Минимальное значение функции $h(x)$ положительно, значит, $h(x)$ никогда не обращается в ноль. Графики не имеют точек пересечения.

Ответ: 0

4) Найдем число решений уравнения $\log_{0.5} x = 2 - x$.

Область определения: $x > 0$.

Обе функции, $f(x) = \log_{0.5} x$ и $g(x) = 2 - x$, являются убывающими. График $f(x)$ является выпуклым (выпуклым вниз), а $g(x)$ — прямая. Такая комбинация может иметь 0, 1 или 2 точки пересечения.

Рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = f(x) - g(x) = \log_{0.5} x - (2 - x) = \log_{0.5} x + x - 2$.

Найдем ее производную:

$h'(x) = (\log_{0.5} x + x - 2)' = \frac{1}{x \ln 0.5} + 1 = 1 - \frac{1}{x \ln 2}$

Найдем точку экстремума из условия $h'(x) = 0$:

$1 - \frac{1}{x \ln 2} = 0 \implies x \ln 2 = 1 \implies x = \frac{1}{\ln 2}$

При $0 < x < \frac{1}{\ln 2}$ производная $h'(x) < 0$, функция $h(x)$ убывает. При $x > \frac{1}{\ln 2}$ производная $h'(x) > 0$, функция $h(x)$ возрастает. Значит, $x = \frac{1}{\ln 2}$ — точка минимума.

Найдем минимальное значение функции:

$h_{min} = h(\frac{1}{\ln 2}) = \log_{0.5}(\frac{1}{\ln 2}) + \frac{1}{\ln 2} - 2 = \log_{2^{-1}}((\ln 2)^{-1}) + \frac{1}{\ln 2} - 2 = \log_2(\ln 2) + \frac{1}{\ln 2} - 2$

Оценим значение $h_{min}$. $\ln 2 \approx 0.693$.

Поскольку $0.5 < \ln 2 < 1$, то $\log_2(\ln 2)$ находится между $\log_2(0.5)=-1$ и $\log_2(1)=0$. То есть $\log_2(\ln 2)$ — отрицательное число.

$\frac{1}{\ln 2} \approx \frac{1}{0.693} \approx 1.443$.

$h_{min} \approx \log_2(0.693) + 1.443 - 2$. Так как $\log_2(0.693) < 0$, то $h_{min} < 1.443 - 2 = -0.557$. Минимальное значение функции отрицательно.

Рассмотрим поведение $h(x)$ на границах области определения:

При $x \to 0^+$, $\log_{0.5} x \to +\infty$, поэтому $h(x) \to +\infty$.

При $x \to +\infty$, линейная функция $x$ растет быстрее, чем логарифмическая, поэтому $h(x) = x + \log_{0.5} x - 2 \to +\infty$.

Функция $h(x)$ убывает от $+\infty$ до отрицательного минимального значения, а затем возрастает до $+\infty$. Следовательно, она пересекает ось абсцисс дважды. Это означает, что уравнение $h(x)=0$ имеет два решения.

Ответ: 2