Номер 14.11, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.11. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$:

1) $f(x) = \log_3 x$, $[1; 9]$; 2) $f(x) = \log_{0.5} x$, $[0.5; 4]$;

3) $f(x) = \log_7 x$, $[1; 7]$; 4) $f(x) = \log_{\sqrt{5}} x$, $[5; 25]$.

1) Для функции $f(x) = \log_3 x$ на отрезке $[1; 9]$.

Основание логарифма $a=3$. Так как $a > 1$, функция является монотонно возрастающей. Это означает, что наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = f(1) = \log_3 1 = 0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(9) = \log_3 9 = \log_3 (3^2) = 2$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.

2) Для функции $f(x) = \log_{0.5} x$ на отрезке $[0.5; 4]$.

Основание логарифма $a=0.5$. Так как $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей. Это означает, что наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(0.5) = \log_{0.5} 0.5 = 1$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = f(4) = \log_{0.5} 4 = \log_{1/2} (2^2) = \log_{2^{-1}} (2^2) = \frac{2}{-1}\log_2 2 = -2$.

Ответ: наименьшее значение -2, наибольшее значение 1.

3) Для функции $f(x) = \log_7 x$ на отрезке $[1; 7]$.

Основание логарифма $a=7$. Так как $a > 1$, функция является монотонно возрастающей. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = f(1) = \log_7 1 = 0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(7) = \log_7 7 = 1$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

4) Для функции $f(x) = \log_{\sqrt{5}} x$ на отрезке $[5; 25]$.

Основание логарифма $a=\sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} > 1$, функция является монотонно возрастающей. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = f(5) = \log_{\sqrt{5}} 5 = \log_{5^{1/2}} 5^1 = \frac{1}{1/2}\log_5 5 = 2 \cdot 1 = 2$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(25) = \log_{\sqrt{5}} 25 = \log_{5^{1/2}} 5^2 = \frac{2}{1/2}\log_5 5 = 4 \cdot 1 = 4$.

Ответ: наименьшее значение 2, наибольшее значение 4.