Номер 14.5, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.5. 1) $\log_{\sqrt{7}} 8$ и 1;

2) $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 10$ и $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 8$;

3) $\log_{\pi} \frac{3}{16}$ и $\log_{\pi} \frac{1}{16}$;

4) $\log_{0,9} \sqrt{3}$ и $\log_{0,9} 2$.

1) Чтобы сравнить числа $ \log_{\sqrt{7}} 8 $ и $ 1 $, воспользуемся свойством монотонности логарифмической функции $ y = \log_a x $.

Основание логарифма $ a = \sqrt{7} $. Так как $ 7 > 1 $, то и $ \sqrt{7} > \sqrt{1} = 1 $. Поскольку основание больше единицы, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма.

Представим число $ 1 $ в виде логарифма с основанием $ \sqrt{7} $: $ 1 = \log_{\sqrt{7}} \sqrt{7} $.

Теперь задача сводится к сравнению аргументов $ 8 $ и $ \sqrt{7} $. Так как $ 8^2 = 64 $ и $ (\sqrt{7})^2 = 7 $, а $ 64 > 7 $, то $ 8 > \sqrt{7} $.

Поскольку функция возрастающая и $ 8 > \sqrt{7} $, мы можем заключить, что $ \log_{\sqrt{7}} 8 > \log_{\sqrt{7}} \sqrt{7} $, следовательно, $ \log_{\sqrt{7}} 8 > 1 $.

Ответ: $ \log_{\sqrt{7}} 8 > 1 $.

2) Для сравнения $ \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 10 $ и $ \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 8 $ определим характер монотонности функции $ y = \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} x $.

Основание логарифма $ a = \frac{1}{\sqrt{2}} $. Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 > 1 $, то $ 0 < \frac{1}{\sqrt{2}} < 1 $. Поскольку основание находится в интервале от $ 0 $ до $ 1 $, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма.

Сравним аргументы логарифмов: $ 10 $ и $ 8 $. Очевидно, что $ 10 > 8 $.

Так как функция убывающая, то из неравенства $ 10 > 8 $ следует обратное неравенство для логарифмов: $ \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 10 < \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 8 $.

Ответ: $ \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 10 < \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 8 $.

3) Чтобы сравнить $ \log_{\frac{\pi}{16}} \frac{3}{16} $ и $ \log_{\frac{\pi}{16}} \frac{1}{16} $, рассмотрим логарифмическую функцию $ y = \log_{\frac{\pi}{16}} x $.

Основание логарифма $ a = \frac{\pi}{16} $. Используя приближенное значение $ \pi \approx 3.14159 $, видим, что $ 0 < \pi < 16 $, а значит $ 0 < \frac{\pi}{16} < 1 $. Следовательно, логарифмическая функция является убывающей.

Сравним аргументы логарифмов: $ \frac{3}{16} $ и $ \frac{1}{16} $. Ясно, что $ \frac{3}{16} > \frac{1}{16} $.

Поскольку функция убывающая, большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма. Таким образом, $ \log_{\frac{\pi}{16}} \frac{3}{16} < \log_{\frac{\pi}{16}} \frac{1}{16} $.

Ответ: $ \log_{\frac{\pi}{16}} \frac{3}{16} < \log_{\frac{\pi}{16}} \frac{1}{16} $.

4) Для сравнения $ \log_{0.9} \sqrt{3} $ и $ \log_{0.9} 2 $ рассмотрим функцию $ y = \log_{0.9} x $.

Основание логарифма $ a = 0.9 $. Так как $ 0 < 0.9 < 1 $, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма.

Сравним аргументы: $ \sqrt{3} $ и $ 2 $. Для этого сравним их квадраты: $ (\sqrt{3})^2 = 3 $ и $ 2^2 = 4 $. Поскольку $ 3 < 4 $, то и $ \sqrt{3} < 2 $.

Так как функция убывающая, то из неравенства $ \sqrt{3} < 2 $ следует обратное неравенство для их логарифмов: $ \log_{0.9} \sqrt{3} > \log_{0.9} 2 $.

Ответ: $ \log_{0.9} \sqrt{3} > \log_{0.9} 2 $.