Вопросы, страница 91 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Почему график логарифмической функции расположен только в правой части координатной плоскости относительно оси $Oy$?

2. Какому условию должны удовлетворять логарифмируемые выражения?

3. В чем сходство показательной и логарифмической функций?

4. Имеются ли различия у показательной и логарифмической функций во множестве значений?

1. Почему график логарифмической функции расположен только в правой части координатной плоскости относительно оси Oy?Логарифмическая функция вида $y = \log_a x$ по определению является обратной к показательной функции $x = a^y$. В показательной функции основание $a$ является положительным числом, не равным единице ($a > 0, a \neq 1$). При возведении положительного числа $a$ в любую действительную степень $y$, результат $x$ всегда будет строго положительным числом ($x > 0$). Поскольку $x$ в логарифмической функции — это то же самое число, что и результат показательной, то оно должно быть больше нуля. Область определения логарифмической функции — это множество всех положительных действительных чисел, то есть $x \in (0, +\infty)$. На координатной плоскости этому условию соответствуют точки, расположенные справа от оси ординат (оси Oy).

Ответ: График логарифмической функции расположен в правой полуплоскости, так как ее область определения состоит только из положительных чисел ($x > 0$).

2. Какому условию должны удовлетворять логарифмируемые выражения?Логарифмируемое выражение, то есть выражение, стоящее под знаком логарифма (аргумент логарифма), должно быть строго положительным. Для логарифма $\log_a B$ должны выполняться следующие условия: аргумент $B > 0$, а основание $a > 0$ и $a \neq 1$. Вопрос касается именно логарифмируемого выражения, поэтому ключевое условие — это его строгая положительность.

Ответ: Логарифмируемое выражение должно быть строго больше нуля.

3. В чем сходство показательной и логарифмической функций?Сходства между показательной функцией $y = a^x$ и логарифмической функцией $y = \log_a x$ заключаются в следующем:

1. Они являются взаимно обратными функциями, их графики симметричны относительно прямой $y = x$.

2. Обе функции имеют основание $a$, на которое накладываются одинаковые ограничения: $a > 0$ и $a \neq 1$.

3. Обе функции являются монотонными на всей своей области определения. Если основание $a > 1$, обе функции возрастают. Если $0 < a < 1$, обе функции убывают.

4. Обе функции непрерывны на своей области определения и не имеют точек экстремума.

5. Показательная функция всегда проходит через точку $(0, 1)$, а логарифмическая — через точку $(1, 0)$.

Ответ: Основные сходства: взаимная обратность, одинаковые требования к основанию, монотонность и непрерывность на всей области определения.

4. Имеются ли различия у показательной и логарифмической функций во множестве значений?Да, различия во множестве значений (области значений) существенны.

Для показательной функции $y = a^x$ множеством значений являются все положительные действительные числа, то есть $E(y) = (0, +\infty)$. Это означает, что график функции полностью лежит выше оси абсцисс (оси Ox).

Для логарифмической функции $y = \log_a x$ множеством значений являются все действительные числа, то есть $E(y) = (-\infty, +\infty)$. Это означает, что функция может принимать любые значения, как положительные, так и отрицательные, и ее график простирается от $-\infty$ до $+\infty$ вдоль оси ординат. Таким образом, область значений одной функции является областью определения для другой, и наоборот.

Ответ: Да, имеются. Множество значений показательной функции — это все положительные числа ($y > 0$), а логарифмической — все действительные числа ($y \in \mathbb{R}$).