Номер 13.18, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13.18. Решите уравнение:

1) $\log_x 81 = 4;$

2) $\log_x \frac{1}{16} = 2;$

3) $\log_x \frac{1}{27} = -3;$

4) $\log_x 36 = 2.$

1) Дано логарифмическое уравнение $log_x 81 = 4$.

По определению логарифма, $log_b a = c$ эквивалентно $b^c = a$. Основание логарифма $x$ должно удовлетворять условиям: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Применяя определение, получаем степенное уравнение:

$x^4 = 81$

Представим число 81 в виде степени: $81 = 3^4$.

$x^4 = 3^4$

Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Проверяем корни на соответствие условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условиям.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому является посторонним.

Ответ: 3

2) Дано логарифмическое уравнение $log_x \frac{1}{16} = 2$.

Основание логарифма $x$ должно удовлетворять условиям: $x > 0$ и $x \neq 1$.

По определению логарифма, переходим к степенному уравнению:

$x^2 = \frac{1}{16}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:

$x_1 = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

$x_2 = -\sqrt{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{4}$

Проверяем корни на соответствие условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Корень $x_1 = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условиям.

Корень $x_2 = -\frac{1}{4}$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому является посторонним.

Ответ: $\frac{1}{4}$

3) Дано логарифмическое уравнение $log_x \frac{1}{27} = -3$.

Основание логарифма $x$ должно удовлетворять условиям: $x > 0$ и $x \neq 1$.

По определению логарифма, получаем:

$x^{-3} = \frac{1}{27}$

Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перепишем левую часть:

$\frac{1}{x^3} = \frac{1}{27}$

Отсюда следует, что $x^3 = 27$.

Так как $27 = 3^3$, получаем $x^3 = 3^3$.

Следовательно, $x = 3$.

Этот корень удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Ответ: 3

4) Дано логарифмическое уравнение $log_x 36 = 2$.

Основание логарифма $x$ должно удовлетворять условиям: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Применяя определение логарифма, переходим к уравнению:

$x^2 = 36$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим два корня:

$x_1 = \sqrt{36} = 6$

$x_2 = -\sqrt{36} = -6$

Проверяем корни на соответствие условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условиям.

Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому является посторонним.

Ответ: 6