Номер 13.15, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Вычислите (13.15 – 13.17):

13.15. 1) $log_2 log_2 log_3 81$;

2) $log_2 log_3 log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}$;

3) $log_{\sqrt{3}} log_5 125$;

4) $log_4 log_3 81.$

1) Вычислим выражение $log_2(log_3 81)$ по шагам. Сначала найдем значение внутреннего логарифма $log_3 81$. Нам нужно найти степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 81. Так как $3^4 = 81$, то $log_3 81 = 4$. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $log_2 4$. Так как $2^2 = 4$, то $log_2 4 = 2$.

Ответ: $2$

2) Вычислим выражение $log_2(log_3(log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}))$. Начнем с самого внутреннего логарифма: $log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}$. Нужно найти такую степень $x$, что $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{27}$. Поскольку $27 = 3^3$, то $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$. Следовательно, $x=3$, и $log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = 3$.

Теперь выражение упрощается до $log_2(log_3 3)$. Вычислим $log_3 3$. Логарифм числа по тому же основанию равен 1, поэтому $log_3 3 = 1$.

Остается найти $log_2 1$. Логарифм единицы по любому основанию (кроме 1) равен нулю. Таким образом, $log_2 1 = 0$.

Ответ: $0$

3) Вычислим выражение $log_{\sqrt{3}}(log_5 125)$. Сначала найдем значение внутреннего логарифма: $log_5 125$. Так как $5^3 = 125$, то $log_5 125 = 3$.

Теперь подставим результат во внешний логарифм: $log_{\sqrt{3}} 3$. Пусть $log_{\sqrt{3}} 3 = x$. По определению логарифма, это означает, что $(\sqrt{3})^x = 3$. Представим $\sqrt{3}$ как $3^{\frac{1}{2}}$. Тогда уравнение примет вид $(3^{\frac{1}{2}})^x = 3^1$, или $3^{\frac{x}{2}} = 3^1$. Приравнивая показатели степеней, получаем $\frac{x}{2} = 1$, откуда $x = 2$.

Ответ: $2$

4) Учитывая типичную структуру подобных заданий, будем вычислять выражение в виде $log_4((log_3 81)^{\frac{1}{3}})$.

Сначала вычислим значение $log_3 81$. Мы знаем, что $3^4 = 81$, поэтому $log_3 81 = 4$.

Теперь подставим это значение в выражение: $log_4(4^{\frac{1}{3}})$.

Используя свойство логарифма $log_b(b^p) = p$, получаем, что $log_4(4^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$