Номер 13.9, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13.9. 1) 243; $\frac{1}{81}$; 27, $a=3$;

2) 5; 25; $\frac{1}{625}$, $a=\frac{1}{5}$;

3) 4; 8; $\frac{1}{32}$, $a=\frac{1}{2}$;

4) 3; 9; $\frac{1}{27}$, $a=\frac{1}{3}$.

1) Требуется представить числа 243; $\frac{1}{81}$; 27 в виде степени с основанием $a=3$.

- Для числа 243: найдём показатель степени $x$, для которого $3^x = 243$. Выполним вычисления: $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$. Следовательно, $x=5$ и $243 = 3^5$.

- Для числа $\frac{1}{81}$: найдём показатель степени $x$, для которого $3^x = \frac{1}{81}$. Мы знаем, что $81 = 3^4$. По свойству степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$. Следовательно, $x=-4$.

- Для числа 27: найдём показатель степени $x$, для которого $3^x = 27$. Из вычислений выше, $27 = 3^3$. Следовательно, $x=3$.

Ответ: $243 = 3^5$; $\frac{1}{81} = 3^{-4}$; $27 = 3^3$.

2) Требуется представить числа 5; 25; $\frac{1}{625}$ в виде степени с основанием $a=\frac{1}{5}$.

- Для числа 5: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{5})^x = 5$. Используем свойство $(\frac{1}{b})^n = b^{-n}$. Тогда $(\frac{1}{5})^x = 5^{-x}$. Получаем уравнение $5^{-x} = 5^1$, откуда $-x=1$ и $x=-1$. Таким образом, $5 = (\frac{1}{5})^{-1}$.

- Для числа 25: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{5})^x = 25$. Так как $25 = 5^2$, получаем уравнение $(\frac{1}{5})^x = 5^2$, что эквивалентно $5^{-x} = 5^2$. Отсюда $-x=2$ и $x=-2$. Таким образом, $25 = (\frac{1}{5})^{-2}$.

- Для числа $\frac{1}{625}$: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{625}$. Мы знаем, что $625 = 5^4$. Тогда $\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = (\frac{1}{5})^4$. Следовательно, $x=4$.

Ответ: $5 = (\frac{1}{5})^{-1}$; $25 = (\frac{1}{5})^{-2}$; $\frac{1}{625} = (\frac{1}{5})^4$.

3) Требуется представить числа 4; 8; $\frac{1}{32}$ в виде степени с основанием $a=\frac{1}{2}$.

- Для числа 4: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{2})^x = 4$. Так как $4=2^2$ и $(\frac{1}{2})^x = 2^{-x}$, получаем уравнение $2^{-x} = 2^2$. Отсюда $-x=2$ и $x=-2$. Таким образом, $4 = (\frac{1}{2})^{-2}$.

- Для числа 8: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{2})^x = 8$. Так как $8=2^3$, получаем уравнение $2^{-x} = 2^3$. Отсюда $-x=3$ и $x=-3$. Таким образом, $8 = (\frac{1}{2})^{-3}$.

- Для числа $\frac{1}{32}$: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{32}$. Мы знаем, что $32=2^5$. Тогда $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = (\frac{1}{2})^5$. Следовательно, $x=5$.

Ответ: $4 = (\frac{1}{2})^{-2}$; $8 = (\frac{1}{2})^{-3}$; $\frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^5$.

4) Требуется представить числа 3; 9; $\frac{1}{27}$ в виде степени с основанием $a=\frac{1}{3}$.

- Для числа 3: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{3})^x = 3$. Используем свойство $(\frac{1}{b})^n = b^{-n}$. Тогда $(\frac{1}{3})^x = 3^{-x}$. Получаем уравнение $3^{-x} = 3^1$, откуда $-x=1$ и $x=-1$. Таким образом, $3 = (\frac{1}{3})^{-1}$.

- Для числа 9: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{3})^x = 9$. Так как $9 = 3^2$, получаем уравнение $(\frac{1}{3})^x = 3^2$, что эквивалентно $3^{-x} = 3^2$. Отсюда $-x=2$ и $x=-2$. Таким образом, $9 = (\frac{1}{3})^{-2}$.

- Для числа $\frac{1}{27}$: найдём показатель степени $x$, для которого $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{27}$. Мы знаем, что $27=3^3$. Тогда $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$. Следовательно, $x=3$.

Ответ: $3 = (\frac{1}{3})^{-1}$; $9 = (\frac{1}{3})^{-2}$; $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$.