Номер 13.13, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13.13. 1) $\left(\frac{\lg 8+\lg 18}{2 \lg 2+\lg 3}\right)^{3};$

2) $\left(\frac{\log _{3} 16}{\log _{3} 4}\right)^{-1};$

3) $(\log _{2} 13-\log _{2} 52)^{5};$

4) $(\log _{0,3} 9-2 \log _{0,3} 10)^{4}.$

1) Для решения воспользуемся свойствами логарифмов: суммой логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $ и вынесением показателя степени $ n \log_a b = \log_a (b^n) $. Запись $ \lg a $ означает десятичный логарифм $ \log_{10} a $.Сначала упростим числитель дроби:$ \lg 8 + \lg 18 = \lg(8 \cdot 18) = \lg 144 = \lg(12^2) = 2\lg 12 $.Теперь упростим знаменатель:$ 2\lg 2 + \lg 3 = \lg(2^2) + \lg 3 = \lg 4 + \lg 3 = \lg(4 \cdot 3) = \lg 12 $.Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:$ \left(\frac{\lg 8 + \lg 18}{2\lg 2 + \lg 3}\right)^3 = \left(\frac{2\lg 12}{\lg 12}\right)^3 $.Сократим дробь:$ (2)^3 = 8 $.Ответ: 8

2) Используем формулу перехода к новому основанию логарифма: $ \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b $.Применим эту формулу к выражению в скобках:$ \frac{\log_3 16}{\log_3 4} = \log_4 16 $.Поскольку $ 4^2 = 16 $, то $ \log_4 16 = 2 $.Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:$ \left(\frac{\log_3 16}{\log_3 4}\right)^{-1} = (2)^{-1} $.Вычисляем степень:$ 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5 $.Ответ: 0,5

3) Воспользуемся свойством разности логарифмов: $ \log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) $.Упростим выражение в скобках:$ \log_2 13 - \log_2 52 = \log_2\left(\frac{13}{52}\right) = \log_2\left(\frac{1}{4}\right) $.Представим $ \frac{1}{4} $ как степень двойки: $ \frac{1}{4} = 2^{-2} $.Тогда $ \log_2\left(\frac{1}{4}\right) = \log_2(2^{-2}) = -2 $.Подставим полученное значение в исходное выражение:$ (\log_2 13 - \log_2 52)^5 = (-2)^5 $.Вычисляем степень:$ (-2)^5 = -32 $.Ответ: -32

4) Применим свойства логарифмов: вынесение показателя степени $ n \log_a b = \log_a (b^n) $ и разность логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) $.Сначала преобразуем второе слагаемое в скобках:$ 2\log_{0,3} 10 = \log_{0,3}(10^2) = \log_{0,3} 100 $.Теперь выражение в скобках имеет вид:$ \log_{0,3} 9 - \log_{0,3} 100 $.Применим свойство разности логарифмов:$ \log_{0,3}\left(\frac{9}{100}\right) $.Представим $ \frac{9}{100} $ как степень числа 0,3: $ \frac{9}{100} = \left(\frac{3}{10}\right)^2 = (0,3)^2 $.Тогда $ \log_{0,3}((0,3)^2) = 2 $.Подставим полученное значение в исходное выражение:$ (\log_{0,3} 9 - 2\log_{0,3} 10)^4 = (2)^4 $.Вычисляем степень:$ 2^4 = 16 $.Ответ: 16