Номер 13.10, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Вычислите (13.10 – 13.13):

13.10. 1) $log_{12} 3 + log_{12} 4;$ 2) $log_2 98 - log_2 2;$

3) $log_2 5 - log_2 35 + log_2 56;$ 4) $log_{\frac{1}{3}} 5 - log_{\frac{1}{3}} 405 + log_{\frac{1}{3}} 9.$

1)Для вычисления суммы логарифмов с одинаковым основанием используется свойство: $log_a x + log_a y = log_a(x \cdot y)$.

Применим это свойство к данному выражению:

$log_{12} 3 + log_{12} 4 = log_{12}(3 \cdot 4) = log_{12} 12$.

Логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен единице, так как $12^1 = 12$.

$log_{12} 12 = 1$.

Ответ: 1.

2)Для вычисления разности логарифмов с одинаковым основанием используется свойство: $log_a x - log_a y = log_a(\frac{x}{y})$.

Применим это свойство к данному выражению:

$log_7 98 - log_7 2 = log_7(\frac{98}{2}) = log_7 49$.

Теперь необходимо найти, в какую степень нужно возвести основание 7, чтобы получить 49. Поскольку $7^2 = 49$, то:

$log_7 49 = 2$.

Ответ: 2.

3)В этом выражении комбинируются сложение и вычитание логарифмов. Используем оба свойства: $log_a x + log_a y = log_a(x \cdot y)$ и $log_a x - log_a y = log_a(\frac{x}{y})$.

Объединим действия в одно выражение под знаком логарифма:

$log_2 5 - log_2 35 + log_2 56 = log_2(\frac{5 \cdot 56}{35})$.

Упростим дробь под логарифмом:

$\frac{5 \cdot 56}{35} = \frac{5 \cdot 56}{5 \cdot 7} = \frac{56}{7} = 8$.

Таким образом, выражение сводится к $log_2 8$.

Найдём, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8. Поскольку $2^3 = 8$, то:

$log_2 8 = 3$.

Ответ: 3.

4)Это выражение также содержит сумму и разность логарифмов с одинаковым основанием $\frac{1}{3}$.

Применим свойства логарифмов:

$log_{\frac{1}{3}} 5 - log_{\frac{1}{3}} 405 + log_{\frac{1}{3}} 9 = log_{\frac{1}{3}}(\frac{5 \cdot 9}{405})$.

Упростим выражение под знаком логарифма:

$\frac{5 \cdot 9}{405} = \frac{45}{405}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 45:

$\frac{45}{405} = \frac{1}{9}$.

Таким образом, мы получили $log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{9})$.

Теперь найдем, в какую степень нужно возвести $\frac{1}{3}$, чтобы получить $\frac{1}{9}$. Поскольку $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$, то:

$log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{9}) = 2$.

Ответ: 2.