Номер 13.6, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13.6. 1) $\log_{\sqrt{2}} 16 = 8;$

2) $\log_{\sqrt{3}} 9 = 4;$

3) $\log_3 243 = 5;$

4) $\lg 0,1 = -1.$

1) Проверим верность равенства $log_{\sqrt{2}}16 = 8$.

По определению логарифма, равенство $log_b a = c$ эквивалентно равенству $b^c = a$. В данном случае основание $b = \sqrt{2}$, аргумент $a = 16$ и значение логарифма $c = 8$.

Подставим эти значения в показательное равенство: $(\sqrt{2})^8 = 16$.

Преобразуем левую часть. Так как $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, то $(\sqrt{2})^8 = (2^{1/2})^8$. По свойству степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем $2^{(1/2) \cdot 8} = 2^4$.

Вычислим $2^4 = 16$.

В результате мы получили тождество $16 = 16$. Следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство верно.

2) Проверим верность равенства $log_{\sqrt{3}}9 = 4$.

Согласно определению логарифма, $log_b a = c$ равносильно $b^c = a$. Здесь $b = \sqrt{3}$, $a = 9$, $c = 4$.

Проверим, выполняется ли равенство $(\sqrt{3})^4 = 9$.

Преобразуем левую часть: $(\sqrt{3})^4 = (3^{1/2})^4 = 3^{(1/2) \cdot 4} = 3^2$.

Вычислим $3^2 = 9$.

Получили верное равенство $9 = 9$. Таким образом, исходное утверждение верно.

Ответ: Равенство верно.

3) Проверим верность равенства $log_3 243 = 5$.

По определению логарифма ($log_b a = c \Leftrightarrow b^c = a$), данное равенство означает, что $3^5 = 243$.

Проверим это, вычислив левую часть: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.

Равенство $243 = 243$ является верным.

Ответ: Равенство верно.

4) Проверим верность равенства $lg \, 0,1 = -1$.

Запись $lg \, a$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $lg \, a = log_{10} a$.

Таким образом, данное равенство можно переписать в виде $log_{10} 0,1 = -1$.

Применим определение логарифма: $log_b a = c \Leftrightarrow b^c = a$. В нашем случае $b = 10$, $a = 0,1$, $c = -1$.

Проверим равенство $10^{-1} = 0,1$.

По свойству степени с отрицательным показателем, $10^{-1} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10} = 0,1$.

Получили верное равенство $0,1 = 0,1$.

Ответ: Равенство верно.