Номер 13.5, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13.5. 1) $\log_5 0,04 = -2$; 2) $\log_7 2401 = 4$;

3) $\log_3 \frac{1}{243} = -5$; 4) $\lg 0,001 = -3$.

1) Чтобы проверить, верно ли равенство $log_5{0,04} = -2$, необходимо использовать основное логарифмическое тождество, согласно которому $log_b{a} = c$ эквивалентно $b^c = a$.

В данном случае основание $b=5$, число под знаком логарифма $a=0,04$, а значение логарифма $c=-2$.

Подставим эти значения в показательное равенство и проверим его истинность: $5^{-2} = 0,04$.

Вычислим левую часть равенства, используя свойство степени с отрицательным показателем: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

Теперь преобразуем правую часть равенства (десятичную дробь) в обыкновенную: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$.

Так как левая и правая части равны ($ \frac{1}{25} = \frac{1}{25} $), исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство верно.

2) Проверим верность равенства $log_7{2401} = 4$. Согласно определению логарифма, данное равенство истинно, если основание логарифма (7), возведенное в степень, равную значению логарифма (4), даст число под знаком логарифма (2401). То есть, если $7^4 = 2401$.

Выполним возведение в степень:

$7^2 = 49$

$7^4 = 7^2 \times 7^2 = 49 \times 49 = 2401$.

Поскольку вычисление подтверждает, что $7^4 = 2401$, исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство верно.

3) Проверим равенство $log_3{\frac{1}{243}} = -5$. По определению логарифма, это равенство будет верным, если $3^{-5} = \frac{1}{243}$.

Вычислим левую часть равенства, используя свойство степени с отрицательным показателем: $3^{-5} = \frac{1}{3^5}$.

Теперь вычислим знаменатель: $3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 \times 3 = 81 \times 3 = 243$.

Таким образом, мы получаем, что $3^{-5} = \frac{1}{243}$.

Так как полученное значение совпадает с правой частью исходного равенства, оно является верным.

Ответ: Равенство верно.

4) Проверим равенство $lg{0,001} = -3$. Запись $lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм с основанием 10. Таким образом, данное равенство можно переписать как $log_{10}{0,001} = -3$.

Используя определение логарифма, проверим, выполняется ли равенство $10^{-3} = 0,001$.

Вычислим левую часть: $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000}$.

Десятичная дробь $0,001$ читается как "одна тысячная" и равна $\frac{1}{1000}$.

Так как $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0,001$, исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство верно.