Номер 13.11, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13.11. 1) $3^{\log_3 5} + 5^{\log_5 6}$;

2) $25^{\log_5 3} + 49^{\log_7 2}$;

3) $7^{\log_7 6} - 8^{\log_8 9}$;

4) $0.04^{\log_{0.2} 5} + 0.36^{\log_{0.6} 5}$.

1) $3^{\log_3 5} + 5^{\log_5 6}$

Для решения данного примера воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$.

Применим это тождество к каждому слагаемому в выражении.

Для первого слагаемого: $3^{\log_3 5} = 5$.

Для второго слагаемого: $5^{\log_5 6} = 6$.

Теперь сложим полученные результаты: $5 + 6 = 11$.

Ответ: 11.

2) $25^{\log_5 3} + 49^{\log_7 2}$

Для решения этого примера сначала преобразуем основания степеней. Заметим, что $25 = 5^2$ и $49 = 7^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(5^2)^{\log_5 3} + (7^2)^{\log_7 2}$.

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$5^{2 \cdot \log_5 3} + 7^{2 \cdot \log_7 2}$.

Теперь применим свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$ к показателям степеней:

$5^{\log_5 3^2} + 7^{\log_7 2^2} = 5^{\log_5 9} + 7^{\log_7 4}$.

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$9 + 4 = 13$.

Ответ: 13.

3) $7^{\log_7 6} - 8^{\log_8 9}$

Как и в первом примере, используем основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$.

Применим его для уменьшаемого и вычитаемого.

$7^{\log_7 6} = 6$.

$8^{\log_8 9} = 9$.

Выполним вычитание: $6 - 9 = -3$.

Ответ: -3.

4) $0,04^{\log_{0,2} 5} + 0,36^{\log_{0,6} 5}$

Преобразуем основания степеней. Заметим, что $0,04 = (0,2)^2$ и $0,36 = (0,6)^2$.

Подставим эти значения в выражение:

$((0,2)^2)^{\log_{0,2} 5} + ((0,6)^2)^{\log_{0,6} 5}$.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$0,2^{2 \cdot \log_{0,2} 5} + 0,6^{2 \cdot \log_{0,6} 5}$.

Далее, применим свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$:

$0,2^{\log_{0,2} 5^2} + 0,6^{\log_{0,6} 5^2} = 0,2^{\log_{0,2} 25} + 0,6^{\log_{0,6} 25}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ находим значения слагаемых:

$25 + 25 = 50$.

Ответ: 50.