Номер 13.17, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13.17. 1) $ \frac{3}{\log_8 3} - \frac{2}{\log_8 4} - \frac{1}{\log_{27} 81}; $

2) $ \frac{\lg 2 + \lg 3}{\lg 3.6 + 1}; $

3) $ 2^{2 - \log_2 5} + \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 5}; $

4) $ 3^{2 + \log_3 4} + \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 4}. $

1) Для решения данного выражения вычислим значение каждого члена по отдельности.

Выражение: $\frac{3}{\log_3{3}} - \frac{2}{\log_9{4}} - \frac{1}{\log_{27}{81}}$

Первый член: $\log_3{3} = 1$, следовательно, $\frac{3}{\log_3{3}} = \frac{3}{1} = 3$.

Второй член: Используем формулу перехода к новому основанию $\log_b{a} = \frac{\log_c{a}}{\log_c{b}}$ для основания 3.$\log_9{4} = \log_{3^2}{4} = \frac{1}{2}\log_3{4}$.Тогда $\frac{2}{\log_9{4}} = \frac{2}{\frac{1}{2}\log_3{4}} = \frac{4}{\log_3{4}}$.Используя свойство $\log_a{b^k} = k\log_a{b}$, получаем $\frac{4}{\log_3{2^2}} = \frac{4}{2\log_3{2}} = \frac{2}{\log_3{2}}$.

Третий член: Преобразуем логарифм в знаменателе, приведя основание и аргумент к степени 3.$\log_{27}{81} = \log_{3^3}{3^4} = \frac{4}{3}\log_3{3} = \frac{4}{3}$.Тогда $\frac{1}{\log_{27}{81}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$.

Теперь объединим все части:$3 - \frac{2}{\log_3{2}} - \frac{3}{4}$.Сгруппируем числовые значения: $3 - \frac{3}{4} = \frac{12}{4} - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$.Выражение принимает вид: $\frac{9}{4} - \frac{2}{\log_3{2}}$.Используя свойство $\frac{1}{\log_b{a}} = \log_a{b}$, можно записать второй член как $2\log_2{3}$.Итоговое выражение: $\frac{9}{4} - 2\log_2{3}$.

Ответ: $\frac{9}{4} - 2\log_2{3}$.

2) Для решения данного выражения преобразуем числитель и знаменатель, используя свойства логарифмов.

Выражение: $\frac{\lg{2} + \lg{3}}{\lg{3,6} + 1}$

В числителе применим свойство суммы логарифмов $\lg{a} + \lg{b} = \lg(ab)$:$\lg{2} + \lg{3} = \lg(2 \cdot 3) = \lg{6}$.

В знаменателе представим $1$ как десятичный логарифм: $1 = \lg{10}$.$\lg{3,6} + 1 = \lg{3,6} + \lg{10} = \lg(3,6 \cdot 10) = \lg{36}$.

Полученная дробь: $\frac{\lg{6}}{\lg{36}}$.

Используем формулу перехода к новому основанию $\frac{\log_c{a}}{\log_c{b}} = \log_b{a}$:$\frac{\lg{6}}{\lg{36}} = \log_{36}{6}$.

Так как $36 = 6^2$, то $\log_{36}{6} = \log_{6^2}{6^1} = \frac{1}{2}\log_6{6} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Для решения данного выражения преобразуем каждое слагаемое по отдельности.

Выражение: $2^{2-\log_2{5}} + (\frac{1}{2})^{\log_2{5}}$

Первое слагаемое: Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получаем:$2^{2-\log_2{5}} = \frac{2^2}{2^{\log_2{5}}}$.По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a{b}} = b$, имеем $2^{\log_2{5}} = 5$.Таким образом, первое слагаемое равно $\frac{4}{5}$.

Второе слагаемое: Представим $\frac{1}{2}$ как $2^{-1}$ и воспользуемся свойством степени $(a^m)^n=a^{mn}$:$(\frac{1}{2})^{\log_2{5}} = (2^{-1})^{\log_2{5}} = 2^{-\log_2{5}}$.Используя свойство $k\log_a{b} = \log_a{b^k}$, получаем $2^{\log_2{5^{-1}}} = 2^{\log_2{(\frac{1}{5})}}$.По основному логарифмическому тождеству, это равно $\frac{1}{5}$.

Сложим полученные значения:$\frac{4}{5} + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1$.

Ответ: $1$.

4) Для решения данного выражения преобразуем каждое слагаемое по отдельности.

Выражение: $3^{2+\log_3{4}} + (\frac{1}{3})^{\log_3{4}}$

Первое слагаемое: Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, получаем:$3^{2+\log_3{4}} = 3^2 \cdot 3^{\log_3{4}}$.По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a{b}} = b$, имеем $3^{\log_3{4}} = 4$.Таким образом, первое слагаемое равно $9 \cdot 4 = 36$.

Второе слагаемое: Представим $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$ и воспользуемся свойством степени $(a^m)^n=a^{mn}$:$(\frac{1}{3})^{\log_3{4}} = (3^{-1})^{\log_3{4}} = 3^{-\log_3{4}}$.Используя свойство $k\log_a{b} = \log_a{b^k}$, получаем $3^{\log_3{4^{-1}}} = 3^{\log_3{(\frac{1}{4})}}$.По основному логарифмическому тождеству, это равно $\frac{1}{4}$.

Сложим полученные значения:$36 + \frac{1}{4} = 36\frac{1}{4} = \frac{144}{4} + \frac{1}{4} = \frac{145}{4}$.

Ответ: $\frac{145}{4}$.