Номер 13.21, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

$10^7 a^{\frac{2}{3}} b^9$

13.21. Докажите:

1) $\log_5 6 + \log_4 5 > -1$;

2) $\log_{\frac{1}{4}} 2 + \log_{\frac{2}{3}} 4 < 1$;

3) $8^{\log_{\frac{1}{9}} 9} = 9^{\log_{\frac{1}{8}} 8}$;

4) $(\frac{1}{6})^{\log_4 \frac{1}{7}} = (\frac{1}{7})^{\log_4 \frac{1}{6}}$.

1) Оценим каждое слагаемое в выражении $\log_5 6 + \log_4 5$.

Поскольку основание логарифма $5 > 1$ и число под логарифмом $6 > 1$, то $\log_5 6 > \log_5 1 = 0$.

Аналогично, поскольку основание $4 > 1$ и число $5 > 1$, то $\log_4 5 > \log_4 1 = 0$.

Сумма двух положительных чисел есть число положительное: $\log_5 6 + \log_4 5 > 0$.

Так как любое положительное число больше, чем $-1$, то $\log_5 6 + \log_4 5 > -1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Преобразуем и оценим слагаемые в выражении $\log_{1/4} 2 + \log_{2/3} 4$.

Вычислим первое слагаемое: $\log_{1/4} 2 = \log_{4^{-1}} 2 = -1 \cdot \log_4 2 = -\log_{2^2} 2 = -\frac{1}{2} \log_2 2 = -0.5$.

Оценим второе слагаемое: $\log_{2/3} 4$. Основание логарифма $a=2/3$ находится в интервале $(0; 1)$, а число под логарифмом $4 > 1$. Для таких логарифмов верно, что их значение отрицательно: $\log_{2/3} 4 < \log_{2/3} 1 = 0$.

Сумма в левой части неравенства равна $-0.5 + \log_{2/3} 4$. Так как $\log_{2/3} 4$ является отрицательным числом, то $-0.5 + \log_{2/3} 4 < -0.5$.

Поскольку $-0.5 < 1$, то и $\log_{1/4} 2 + \log_{2/3} 4 < 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

3) Для доказательства равенства $8^{\log_7 9} = 9^{\log_7 8}$ прологарифмируем обе его части по основанию $7$.

Логарифм левой части: $\log_7(8^{\log_7 9})$. Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$, получаем: $\log_7 9 \cdot \log_7 8$.

Логарифм правой части: $\log_7(9^{\log_7 8})$. Используя то же свойство, получаем: $\log_7 8 \cdot \log_7 9$.

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, логарифмы левой и правой частей равны. Так как логарифмическая функция $y=\log_7 x$ является монотонной, из равенства логарифмов следует равенство исходных выражений. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

4) Для доказательства равенства $(\frac{1}{6})^{\log_4 \frac{1}{7}} = (\frac{1}{7})^{\log_4 \frac{1}{6}}$ прологарифмируем обе его части по основанию $4$.

Логарифм левой части: $\log_4 \left( \left( \frac{1}{6} \right)^{\log_4 \frac{1}{7}} \right)$. Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$, получаем: $\log_4 \frac{1}{7} \cdot \log_4 \frac{1}{6}$.

Логарифм правой части: $\log_4 \left( \left( \frac{1}{7} \right)^{\log_4 \frac{1}{6}} \right)$. Используя то же свойство, получаем: $\log_4 \frac{1}{6} \cdot \log_4 \frac{1}{7}$.

Так как логарифмы левой и правой частей равны, и логарифмическая функция $y=\log_4 x$ является монотонной, то равны и сами исходные выражения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.