Страница 87 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

$10^7 a^{\frac{2}{3}} b^9$

13.21. Докажите:

1) $\log_5 6 + \log_4 5 > -1$;

2) $\log_{\frac{1}{4}} 2 + \log_{\frac{2}{3}} 4 < 1$;

3) $8^{\log_{\frac{1}{9}} 9} = 9^{\log_{\frac{1}{8}} 8}$;

4) $(\frac{1}{6})^{\log_4 \frac{1}{7}} = (\frac{1}{7})^{\log_4 \frac{1}{6}}$.

1) Оценим каждое слагаемое в выражении $\log_5 6 + \log_4 5$.

Поскольку основание логарифма $5 > 1$ и число под логарифмом $6 > 1$, то $\log_5 6 > \log_5 1 = 0$.

Аналогично, поскольку основание $4 > 1$ и число $5 > 1$, то $\log_4 5 > \log_4 1 = 0$.

Сумма двух положительных чисел есть число положительное: $\log_5 6 + \log_4 5 > 0$.

Так как любое положительное число больше, чем $-1$, то $\log_5 6 + \log_4 5 > -1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Преобразуем и оценим слагаемые в выражении $\log_{1/4} 2 + \log_{2/3} 4$.

Вычислим первое слагаемое: $\log_{1/4} 2 = \log_{4^{-1}} 2 = -1 \cdot \log_4 2 = -\log_{2^2} 2 = -\frac{1}{2} \log_2 2 = -0.5$.

Оценим второе слагаемое: $\log_{2/3} 4$. Основание логарифма $a=2/3$ находится в интервале $(0; 1)$, а число под логарифмом $4 > 1$. Для таких логарифмов верно, что их значение отрицательно: $\log_{2/3} 4 < \log_{2/3} 1 = 0$.

Сумма в левой части неравенства равна $-0.5 + \log_{2/3} 4$. Так как $\log_{2/3} 4$ является отрицательным числом, то $-0.5 + \log_{2/3} 4 < -0.5$.

Поскольку $-0.5 < 1$, то и $\log_{1/4} 2 + \log_{2/3} 4 < 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

3) Для доказательства равенства $8^{\log_7 9} = 9^{\log_7 8}$ прологарифмируем обе его части по основанию $7$.

Логарифм левой части: $\log_7(8^{\log_7 9})$. Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$, получаем: $\log_7 9 \cdot \log_7 8$.

Логарифм правой части: $\log_7(9^{\log_7 8})$. Используя то же свойство, получаем: $\log_7 8 \cdot \log_7 9$.

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, логарифмы левой и правой частей равны. Так как логарифмическая функция $y=\log_7 x$ является монотонной, из равенства логарифмов следует равенство исходных выражений. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

4) Для доказательства равенства $(\frac{1}{6})^{\log_4 \frac{1}{7}} = (\frac{1}{7})^{\log_4 \frac{1}{6}}$ прологарифмируем обе его части по основанию $4$.

Логарифм левой части: $\log_4 \left( \left( \frac{1}{6} \right)^{\log_4 \frac{1}{7}} \right)$. Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$, получаем: $\log_4 \frac{1}{7} \cdot \log_4 \frac{1}{6}$.

Логарифм правой части: $\log_4 \left( \left( \frac{1}{7} \right)^{\log_4 \frac{1}{6}} \right)$. Используя то же свойство, получаем: $\log_4 \frac{1}{6} \cdot \log_4 \frac{1}{7}$.

Так как логарифмы левой и правой частей равны, и логарифмическая функция $y=\log_4 x$ является монотонной, то равны и сами исходные выражения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

ПОДГОТОВЬТЕ СООБЩЕНИЕ ОБ УЧЕНОМ-МАТЕМАТИКЕ

13.22. Подготовьте сообщение об ученом-математике Джоне Непере и его “удивительной таблице логарифмов”.

Дж. Непер
(1550—1617)

Сообщение о Джоне Непере и его “удивительной таблице логарифмов”

Джон Непер (1550–1617) — выдающийся шотландский математик, физик, астроном и теолог, 8-й лэрд Мерчистона. Хотя он не был профессиональным ученым и занимался наукой как любитель, его изобретения оказали огромное влияние на развитие науки и техники. Самым знаменитым его вкладом является изобретение логарифмов, которое коренным образом изменило подход к вычислениям.

Предпосылки изобретения

В XVI и XVII веках, в эпоху Великих географических открытий и научной революции, резко возросла потребность в сложных и точных вычислениях. Астрономам, навигаторам и инженерам приходилось постоянно выполнять громоздкие операции умножения, деления и извлечения корней с многозначными числами. Эти расчеты отнимали огромное количество времени и часто содержали ошибки, что могло привести к серьезным последствиям, например, в мореплавании или при составлении астрономических таблиц. Возникла острая необходимость в инструменте, который мог бы упростить и ускорить эти вычисления.

Изобретение логарифмов и "Удивительная таблица"

Джон Непер посвятил около 20 лет своей жизни решению этой проблемы. Его гениальная идея заключалась в том, чтобы свести сложные операции умножения и деления к более простым — сложению и вычитанию. Это стало возможным благодаря открытию логарифмов. Основное свойство логарифмов, которое лежит в основе их применения для вычислений, заключается в том, что логарифм произведения двух чисел равен сумме их логарифмов, а логарифм частного — разности их логарифмов. В современной записи:

$ \log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y) $

$ \log_b(x / y) = \log_b(x) - \log_b(y) $

Таким образом, имея таблицы заранее вычисленных логарифмов, можно было заменить трудоемкое умножение на простое сложение, а деление — на вычитание.

В 1614 году Непер опубликовал свой труд на латинском языке под названием "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio", что переводится как "Описание удивительной таблицы логарифмов". Эта книга и содержащиеся в ней таблицы стали настоящей сенсацией в научном мире. Название "удивительная" полностью отражало впечатление, которое она произвела на современников.

Интересно, что Непер пришел к идее логарифмов не алгебраически, а кинематически, через сопоставление арифметической и геометрической прогрессий. Логарифмы Непера отличались от тех, что используются сегодня. Их основание было близко к $1/e$ (где $e \approx 2.718$ — основание натуральных логарифмов), а сами значения были умножены на большой множитель $10^7$, чтобы работать только с целыми числами, так как десятичные дроби в то время еще не получили широкого распространения. Таблицы Непера содержали логарифмы синусов, что было особенно ценно для астрономических расчетов.

Влияние и наследие

Изобретение Непера было встречено с восторгом. Знаменитый астроном Иоганн Кеплер был одним из первых, кто оценил мощь нового вычислительного инструмента. Великий французский математик Пьер-Симон Лаплас позже писал, что логарифмы, "сократив труд астронома, продлили ему жизнь".

Английский профессор математики Генри Бриггс, узнав о работе Непера, специально приехал в Шотландию, чтобы обсудить с ним это выдающееся открытие. В ходе их встреч было решено, что более удобными для практического использования будут логарифмы с основанием 10 (десятичные логарифмы). Непер согласился, но не успел составить новые таблицы из-за ухудшения здоровья. Эту колоссальную работу выполнил Бриггс.

Помимо логарифмов, Джон Непер известен и другими изобретениями, например, "палочками Непера" — приспособлением для механического умножения и деления. Он также был одним из первых европейских математиков, кто начал активно использовать десятичную точку для разделения целой и дробной частей числа.

Ответ: Вклад Джона Непера в математику трудно переоценить. Его "удивительная таблица логарифмов" стала революционным инструментом, который на несколько столетий стал основным средством для выполнения сложных вычислений, значительно ускорив развитие астрономии, навигации, физики и инженерного дела и став одним из ключевых факторов научной революции XVII века.