Страница 81 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.15. Найдите число точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и

$y = g(x)$:

1) $f(x) = 5^x$ и $g(x) = 6 - x;$

2) $f(x) = (\frac{1}{4})^x$ и $g(x) = 3 - x;$

3) $f(x) = 2^x - 2$ и $g(x) = 1 - x;$

4) $f(x) = 3^{-x}$ и $g(x) = -\frac{3}{x}.$

1)Чтобы найти число точек пересечения графиков функций $y = f(x) = 5^x$ и $y = g(x) = 6 - x$, необходимо найти количество решений уравнения $f(x) = g(x)$, то есть $5^x = 6 - x$.

Рассмотрим свойства функций в левой и правой частях уравнения.

Функция $y_1 = 5^x$ является показательной с основанием больше 1, поэтому она строго возрастает на всей области определения.

Функция $y_2 = 6 - x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом, поэтому она строго убывает на всей области определения.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения.

Найдем эту точку подбором. При $x = 1$ получаем:

$f(1) = 5^1 = 5$

$g(1) = 6 - 1 = 5$

Так как $f(1) = g(1)$, то $x = 1$ является решением уравнения. Поскольку решение может быть только одно, то графики функций пересекаются в одной точке.

Ответ: 1.

2)Чтобы найти число точек пересечения графиков функций $y = f(x) = (\frac{1}{4})^x$ и $y = g(x) = 3 - x$, необходимо найти количество решений уравнения $(\frac{1}{4})^x = 3 - x$.

Рассмотрим свойства функций.

Функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ является показательной с основанием меньше 1, поэтому она строго убывает. Также она является выпуклой вниз (ее график изгибается вверх).

Функция $y_2 = 3 - x$ является линейной, ее график — прямая.

Выпуклая функция и прямая могут иметь не более двух точек пересечения.

Попробуем найти решения подбором.

При $x = -1$:

$f(-1) = (\frac{1}{4})^{-1} = 4$

$g(-1) = 3 - (-1) = 4$

Значит, $x = -1$ — одна точка пересечения.

Рассмотрим поведение функций в других точках. Пусть $h(x) = (\frac{1}{4})^x - (3 - x)$.

$h(0) = (\frac{1}{4})^0 - (3 - 0) = 1 - 3 = -2$.

$h(3) = (\frac{1}{4})^3 - (3 - 3) = \frac{1}{64} - 0 = \frac{1}{64}$.

Поскольку функция $h(x)$ непрерывна, и на концах отрезка $[0, 3]$ принимает значения разных знаков ($h(0) < 0$ и $h(3) > 0$), то по теореме о промежуточных значениях на интервале $(0, 3)$ существует еще один корень.

Таким образом, мы нашли два решения: $x = -1$ и еще одно в интервале $(0, 3)$. Так как точек пересечения не может быть больше двух, то их ровно две.

Ответ: 2.

3)Чтобы найти число точек пересечения графиков функций $y = f(x) = 2^x - 2$ и $y = g(x) = 1 - x$, необходимо найти количество решений уравнения $2^x - 2 = 1 - x$.

Преобразуем уравнение: $2^x = 3 - x$.

Функция $y_1 = 2^x$ является строго возрастающей.

Функция $y_2 = 3 - x$ является строго убывающей.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения.

Найдем эту точку подбором. При $x = 1$:

Левая часть: $2^1 = 2$.

Правая часть: $3 - 1 = 2$.

Так как левая и правая части равны, $x = 1$ — единственное решение. Следовательно, графики функций пересекаются в одной точке.

Ответ: 1.

4)Чтобы найти число точек пересечения графиков функций $y = f(x) = 3^{-x}$ и $y = g(x) = -\frac{3}{x}$, необходимо найти количество решений уравнения $3^{-x} = -\frac{3}{x}$.

Функция $y_1 = 3^{-x} = (\frac{1}{3})^x$ является показательной, ее значения всегда положительны ($y_1 > 0$ для любого $x$).

Для существования решения необходимо, чтобы правая часть уравнения также была положительна: $g(x) = -\frac{3}{x} > 0$. Это неравенство выполняется при $x < 0$. Значит, точки пересечения могут существовать только при отрицательных значениях $x$.

Рассмотрим поведение функций на интервале $(-\infty, 0)$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ является строго убывающей.

Функция $y_2 = -\frac{3}{x}$ на интервале $(-\infty, 0)$ является строго возрастающей (ее производная $y_2' = \frac{3}{x^2} > 0$).

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут иметь не более одной точки пересечения.

Проверим, есть ли решение, подставив $x = -1$:

$f(-1) = 3^{-(-1)} = 3^1 = 3$.

$g(-1) = -\frac{3}{-1} = 3$.

Так как $f(-1) = g(-1)$, то $x = -1$ является решением. Поскольку оно единственное, графики функций имеют одну точку пересечения.

Ответ: 1.