Страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Как можно определить возрастание или убывание показательной функции?

2. Почему графики всех показательных функций проходят через точку $(0; 1)$? Ответ обоснуйте.

3. Почему функция $y = a^x$, $a > 0$, $a \ne 1$ ограничена снизу, но неограничена сверху (рассмотрите случаи $a > 1$ и $0 < a < 1$)?

1. Как можно определить возрастание или убывание показательной функции?

Возрастание или убывание показательной функции вида $y = a^x$ полностью определяется значением ее основания $a$.

• Если основание $a > 1$, то показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Формально, для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$. Например, функция $y=2^x$ возрастает.
• Если основание $0 < a < 1$, то показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Формально, для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$. Например, функция $y=(0.5)^x$ убывает.

Ответ: Возрастание или убывание показательной функции $y = a^x$ определяется значением ее основания $a$. Если основание $a > 1$, функция возрастает. Если основание $0 < a < 1$, функция убывает.

2. Почему графики всех показательных функций проходят через точку (0; 1)? Ответ обоснуйте.

Показательная функция имеет вид $y = a^x$, где по определению основание $a > 0$ и $a \neq 1$. Чтобы найти точку пересечения графика с осью ординат (осью $y$), необходимо найти значение функции при $x=0$.

Подставим значение $x=0$ в уравнение функции:

$y = a^0$

Согласно свойству степени с нулевым показателем, любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно единице. Так как основание $a$ показательной функции всегда положительно ($a>0$), то $a^0=1$ для любого допустимого значения $a$.

Таким образом, для любой показательной функции, независимо от значения ее основания $a$, при $x=0$ значение $y$ всегда равно 1. Это означает, что точка с координатами (0; 1) всегда принадлежит графику функции $y = a^x$.

Ответ: Графики всех показательных функций $y = a^x$ проходят через точку (0; 1), потому что при подстановке $x = 0$ в уравнение функции мы получаем $y = a^0$. Согласно свойству степени, любое положительное число $a$, возведенное в нулевую степень, равно 1. Следовательно, для любого основания $a$ график функции будет содержать точку с координатами (0; 1).

3. Почему функция y = a^x, a > 0, a ≠ 1 ограничена снизу, но неограничена сверху (рассмотрите случаи a > 1 и 0 < a < 1)?

Ограниченность снизу:

По определению, основание показательной функции $a$ является положительным числом ($a > 0$). При возведении положительного числа в любую действительную степень $x$ результат также всегда будет положительным числом. То есть, $a^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что все значения функции лежат выше оси абсцисс ($y=0$). Таким образом, функция $y = a^x$ ограничена снизу нулем. Её область значений — это интервал $(0; +\infty)$.

Неограниченность сверху:

Рассмотрим два случая для основания $a$.

• Случай 1: $a > 1$.

  В этом случае функция является возрастающей. При неограниченном увеличении аргумента $x$ (при $x \to +\infty$), значение функции $y = a^x$ также неограниченно возрастает и стремится к $+\infty$. Это значит, что для любого, даже самого большого числа $M$, можно найти такое значение $x$, что $a^x > M$. Следовательно, функция не ограничена сверху.

• Случай 2: $0 < a < 1$.

  В этом случае функция является убывающей. Чтобы показать ее неограниченность сверху, рассмотрим поведение функции при $x$, стремящемся к минус бесконечности ($x \to -\infty$).

  Представим $x$ как $-t$, где $t$ — большое положительное число ($t \to +\infty$). Тогда:

  $y = a^x = a^{-t} = \frac{1}{a^t} = \left(\frac{1}{a}\right)^t$.

  Так как $0 < a < 1$, то основание новой степени $b = \frac{1}{a}$ будет больше единицы ($b > 1$).

  Таким образом, когда $x \to -\infty$, переменная $t \to +\infty$, и выражение $y = b^t$ неограниченно возрастает (аналогично первому случаю). Это значит, что и в этом случае функция не ограничена сверху.

Ответ: Функция $y = a^x$ ограничена снизу, так как основание $a$ положительно, и при возведении в любую степень результат $a^x$ также будет положительным ($a^x > 0$). Функция не ограничена сверху, потому что: 1) при $a > 1$ с ростом $x$ до $+\infty$ значение $a^x$ неограниченно возрастает; 2) при $0 < a < 1$ с убыванием $x$ до $-\infty$ значение $a^x$ (равное $(\frac{1}{a})^{-x}$ с основанием $\frac{1}{a} > 1$) также неограниченно возрастает. В обоих случаях область значений функции — $(0; +\infty)$.