Страница 73 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите уравнения (11.1—11.4):

11.1. 1) $\sqrt{x+2}=4;$

2) $\sqrt{x^2-28}=6;$

3) $\sqrt[3]{3-x^2}=-1;$

4) $\sqrt[4]{x^3-11}=2.$

1) Данное уравнение: $\sqrt{x+2}=4$.

Поскольку мы имеем дело с арифметическим квадратным корнем, выражение под корнем должно быть неотрицательным. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ):

$x+2 \geq 0$

$x \geq -2$

Для того чтобы решить уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x+2})^2 = 4^2$

$x+2 = 16$

Перенесем 2 в правую часть:

$x = 16 - 2$

$x = 14$

Полученный корень $x=14$ удовлетворяет условию ОДЗ, так как $14 \geq -2$.

Проверка: $\sqrt{14+2} = \sqrt{16} = 4$. Равенство верно.

Ответ: 14

2) Данное уравнение: $\sqrt{x^2-28}=6$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:

$x^2-28 \geq 0$

$x^2 \geq 28$

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x^2-28})^2 = 6^2$

$x^2-28 = 36$

Перенесем -28 в правую часть:

$x^2 = 36 + 28$

$x^2 = 64$

У этого уравнения два корня: $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Для $x_1=8$, $8^2 = 64 \geq 28$. Для $x_2=-8$, $(-8)^2 = 64 \geq 28$. Оба корня подходят.

Проверка: $\sqrt{8^2-28} = \sqrt{64-28} = \sqrt{36} = 6$. Равенство верно. $\sqrt{(-8)^2-28} = \sqrt{64-28} = \sqrt{36} = 6$. Равенство верно.

Ответ: -8; 8

3) Данное уравнение: $\sqrt[3]{3-x^2}=-1$.

Корень нечетной (третьей) степени определен для любых действительных значений подкоренного выражения, поэтому ОДЗ здесь — все действительные числа ($x \in R$).

Возведем обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt[3]{3-x^2})^3 = (-1)^3$

$3-x^2 = -1$

Перегруппируем члены уравнения, чтобы выразить $x^2$:

$x^2 = 3 + 1$

$x^2 = 4$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверка: для $x=2$, $\sqrt[3]{3-2^2} = \sqrt[3]{3-4} = \sqrt[3]{-1} = -1$. Равенство верно. Для $x=-2$, $\sqrt[3]{3-(-2)^2} = \sqrt[3]{3-4} = \sqrt[3]{-1} = -1$. Равенство верно.

Ответ: -2; 2

4) Данное уравнение: $\sqrt[4]{x^3-11}=2$.

Так как корень четной (четвертой) степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. ОДЗ:

$x^3-11 \geq 0$

$x^3 \geq 11$

$x \geq \sqrt[3]{11}$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x^3-11})^4 = 2^4$

$x^3-11 = 16$

Перенесем -11 в правую часть:

$x^3 = 16 + 11$

$x^3 = 27$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{27}$

$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=3$ условию ОДЗ ($x \geq \sqrt[3]{11}$). Так как $3^3 = 27$, а $27 > 11$, то $3 > \sqrt[3]{11}$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Проверка: $\sqrt[4]{3^3-11} = \sqrt[4]{27-11} = \sqrt[4]{16} = 2$. Равенство верно.

Ответ: 3

11.2. 1) $\sqrt{x+2}=x;$

2) $\sqrt{4x-3}=x;$

3) $\sqrt[3]{1-x^3}=1-x;$

4) $\sqrt[4]{x^4+x^2-1}=x.$

1) $\sqrt{x+2} = x$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ).

Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, что дает $x \ge -2$.

Во-вторых, арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.

Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x+2})^2 = x^2$

$x+2 = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):

$x_1 = 2$ — удовлетворяет условию $2 \ge 0$.

$x_2 = -1$ — не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $2$

2) $\sqrt{4x-3} = x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

1. Выражение под корнем: $4x-3 \ge 0 \Rightarrow 4x \ge 3 \Rightarrow x \ge \frac{3}{4}$.

2. Правая часть уравнения: $x \ge 0$.

Общее ОДЗ: $x \ge \frac{3}{4}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{4x-3})^2 = x^2$

$4x-3 = x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{3}{4}$):

$x_1 = 1$ — удовлетворяет условию $1 \ge \frac{3}{4}$.

$x_2 = 3$ — удовлетворяет условию $3 \ge \frac{3}{4}$.

Оба корня подходят.

Ответ: $1; 3$

3) $\sqrt[3]{1-x^3} = 1-x$

Для кубического корня область допустимых значений — все действительные числа, поэтому никаких ограничений на $x$ нет.

Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{1-x^3})^3 = (1-x)^3$

$1-x^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3$

Прибавим $x^3$ к обеим частям уравнения:

$1 = 1 - 3x + 3x^2$

Вычтем 1 из обеих частей:

$0 = -3x + 3x^2$

$3x^2 - 3x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x-1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x-1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1$

Так как ограничений на ОДЗ не было, оба корня являются решениями.

Ответ: $0; 1$

4) $\sqrt[4]{x^4+x^2-1} = x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

1. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $x^4+x^2-1 \ge 0$.

2. Результат извлечения корня четной степени не может быть отрицательным: $x \ge 0$.

Общее ОДЗ определяется системой неравенств: $\begin{cases} x^4+x^2-1 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x^4+x^2-1})^4 = x^4$

$x^4+x^2-1 = x^4$

Вычтем $x^4$ из обеих частей:

$x^2-1 = 0$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.

Для $x_1 = 1$:

1. $1 \ge 0$ (верно).

2. $1^4+1^2-1 = 1+1-1 = 1 \ge 0$ (верно).

Следовательно, $x=1$ является решением.

Для $x_2 = -1$:

1. $-1 \ge 0$ (неверно).

Следовательно, $x=-1$ является посторонним корнем.

Уравнение имеет только один корень.

Ответ: $1$

11.3. 1) $x + \sqrt{x+3} = 3;$

2) $\sqrt{2x+18} - 5 = x;$

3) $\sqrt[3]{x^3-8} + 2 = x;$

4) $\sqrt[3]{4x+3x^2} = x.$

1) $x + \sqrt{x+3} = 3$

Перенесем $x$ в правую часть уравнения, чтобы изолировать радикал:

$\sqrt{x+3} = 3 - x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, равная корню, также должна быть неотрицательной.

$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 3-x \ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x \ge -3 \\ x \le 3 \end{cases} $

Следовательно, ОДЗ: $x \in [-3; 3]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+3})^2 = (3-x)^2$

$x+3 = 9 - 6x + x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - x + 9 - 3 = 0$

$x^2 - 7x + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 6. Корни уравнения:

$x_1 = 1$

$x_2 = 6$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \in [-3; 3]$).

Корень $x_1 = 1$ принадлежит ОДЗ.

Корень $x_2 = 6$ не принадлежит ОДЗ, поэтому является посторонним.

Выполним проверку для $x=1$, подставив его в исходное уравнение:

$1 + \sqrt{1+3} = 1 + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$.

$3 = 3$. Равенство верное.

Ответ: 1

2) $\sqrt{2x+18} - 5 = x$

Изолируем радикал в левой части уравнения:

$\sqrt{2x+18} = x + 5$

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 2x+18 \ge 0 \\ x+5 \ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} 2x \ge -18 \\ x \ge -5 \end{cases} $

$ \begin{cases} x \ge -9 \\ x \ge -5 \end{cases} $

Следовательно, ОДЗ: $x \ge -5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x+18})^2 = (x+5)^2$

$2x+18 = x^2 + 10x + 25$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$x^2 + 10x - 2x + 25 - 18 = 0$

$x^2 + 8x + 7 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна -8, произведение равно 7. Корни уравнения:

$x_1 = -1$

$x_2 = -7$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -5$).

Корень $x_1 = -1$ принадлежит ОДЗ.

Корень $x_2 = -7$ не принадлежит ОДЗ, является посторонним.

Проверим корень $x=-1$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2(-1)+18} - 5 = \sqrt{-2+18} - 5 = \sqrt{16} - 5 = 4 - 5 = -1$.

$-1 = -1$. Равенство верное.

Ответ: -1

3) $\sqrt[3]{x^3 - 8} + 2 = x$

Изолируем кубический корень:

$\sqrt[3]{x^3 - 8} = x - 2$

Так как корень нечетной степени, ОДЗ для $x$ - все действительные числа. Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{x^3 - 8})^3 = (x - 2)^3$

$x^3 - 8 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3$

$x^3 - 8 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Упростим уравнение:

$-8 = -6x^2 + 12x - 8$

$6x^2 - 12x = 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$6x(x - 2) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 2$

Проверим оба корня:

Для $x=0$: $\sqrt[3]{0^3 - 8} + 2 = \sqrt[3]{-8} + 2 = -2 + 2 = 0$. Правая часть $x=0$. Равенство верное.

Для $x=2$: $\sqrt[3]{2^3 - 8} + 2 = \sqrt[3]{8 - 8} + 2 = \sqrt[3]{0} + 2 = 2$. Правая часть $x=2$. Равенство верное.

Ответ: 0; 2

4) $\sqrt[3]{4x + 3x^2} = x$

ОДЗ для $x$ - все действительные числа. Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{4x + 3x^2})^3 = x^3$

$4x + 3x^2 = x^3$

Перенесем все члены в правую часть и приравняем к нулю:

$x^3 - 3x^2 - 4x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x^2 - 3x - 4) = 0$

Это дает нам первый корень $x_1 = 0$ и квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 3, произведение равно -4. Корни:

$x_2 = 4$

$x_3 = -1$

Проверим все три корня:

Для $x=0$: $\sqrt[3]{4(0) + 3(0)^2} = \sqrt[3]{0} = 0$. Правая часть $x=0$. Равенство верное.

Для $x=4$: $\sqrt[3]{4(4) + 3(4)^2} = \sqrt[3]{16 + 48} = \sqrt[3]{64} = 4$. Правая часть $x=4$. Равенство верное.

Для $x=-1$: $\sqrt[3]{4(-1) + 3(-1)^2} = \sqrt[3]{-4 + 3} = \sqrt[3]{-1} = -1$. Правая часть $x=-1$. Равенство верное.

Ответ: -1; 0; 4

11.4. 1) $\sqrt{3x+4} = 2-x;$

2) $\sqrt{2x^2-3x+2} = 2x-2;$

3) $\sqrt{7-3x} = 1-x;$

4) $\sqrt{2x^2-5x+4} = 2x+2.$

1) $ \sqrt{3x+4} = 2-x $

Данное иррациональное уравнение равносильно системе, состоящей из условия неотрицательности правой части и уравнения, полученного возведением обеих частей в квадрат:

$ \begin{cases} 2-x \ge 0, \\ 3x+4 = (2-x)^2 \end{cases} $

Сначала решим неравенство системы:

$ 2-x \ge 0 $

$ -x \ge -2 $

$ x \le 2 $

Теперь решим уравнение системы:

$ 3x+4 = 4 - 4x + x^2 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$ x^2 - 4x - 3x + 4 - 4 = 0 $

$ x^2 - 7x = 0 $

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$ x(x-7) = 0 $

Отсюда получаем два возможных корня: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 7 $.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $ x \le 2 $.

Корень $ x_1 = 0 $ удовлетворяет условию, так как $ 0 \le 2 $.

Корень $ x_2 = 7 $ не удовлетворяет условию, так как $ 7 > 2 $. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $0$.

2) $ \sqrt{2x^2 - 3x + 2} = 2x - 2 $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x-2 \ge 0, \\ 2x^2 - 3x + 2 = (2x - 2)^2 \end{cases} $

Решим неравенство:

$ 2x-2 \ge 0 $

$ 2x \ge 2 $

$ x \ge 1 $

Решим уравнение:

$ 2x^2 - 3x + 2 = 4x^2 - 8x + 4 $

$ 4x^2 - 2x^2 - 8x + 3x + 4 - 2 = 0 $

$ 2x^2 - 5x + 2 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $

Найдем корни:

$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $

Теперь проверим корни на соответствие условию $ x \ge 1 $.

Корень $ x_1 = \frac{1}{2} $ не удовлетворяет условию, так как $ \frac{1}{2} < 1 $. Это посторонний корень.

Корень $ x_2 = 2 $ удовлетворяет условию, так как $ 2 \ge 1 $.

Ответ: $2$.

3) $ \sqrt{7-3x} = 1-x $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 1-x \ge 0, \\ 7-3x = (1-x)^2 \end{cases} $

Решим неравенство:

$ 1-x \ge 0 $

$ -x \ge -1 $

$ x \le 1 $

Решим уравнение:

$ 7-3x = 1 - 2x + x^2 $

$ x^2 - 2x + 3x + 1 - 7 = 0 $

$ x^2 + x - 6 = 0 $

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $ -1 $, а их произведение равно $ -6 $.

Корни уравнения: $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = 2 $.

Проверим соответствие корней условию $ x \le 1 $.

Корень $ x_1 = -3 $ удовлетворяет условию, так как $ -3 \le 1 $.

Корень $ x_2 = 2 $ не удовлетворяет условию, так как $ 2 > 1 $. Это посторонний корень.

Ответ: $-3$.

4) $ \sqrt{2x^2-5x+4} = 2x+2 $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x+2 \ge 0, \\ 2x^2-5x+4 = (2x+2)^2 \end{cases} $

Решим неравенство:

$ 2x+2 \ge 0 $

$ 2x \ge -2 $

$ x \ge -1 $

Решим уравнение:

$ 2x^2-5x+4 = 4x^2 + 8x + 4 $

$ 4x^2 - 2x^2 + 8x + 5x + 4 - 4 = 0 $

$ 2x^2 + 13x = 0 $

Вынесем $x$ за скобки:

$ x(2x + 13) = 0 $

Получаем два возможных корня: $ x_1 = 0 $ и $ 2x+13=0 \Rightarrow x_2 = -\frac{13}{2} = -6.5 $.

Проверим соответствие корней условию $ x \ge -1 $.

Корень $ x_1 = 0 $ удовлетворяет условию, так как $ 0 \ge -1 $.

Корень $ x_2 = -6.5 $ не удовлетворяет условию, так как $ -6.5 < -1 $. Это посторонний корень.

Ответ: $0$.

Решите уравнения (11.5–11.9):

11.5. 1) $ \sqrt{3x+1} - \sqrt{x-1} = 2; $

2) $ \sqrt{2x-6} + \sqrt{x+1} = 2; $

3) $ x - 1 + \sqrt{x-1} = 2; $

4) $ \sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 2\sqrt{x}. $

1) Решим уравнение $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x-1} = 2$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$3x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/3$

$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения:

$\sqrt{3x+1} = 2 + \sqrt{x-1}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x+1})^2 = (2 + \sqrt{x-1})^2$

$3x+1 = 4 + 4\sqrt{x-1} + (x-1)$

$3x+1 = x + 3 + 4\sqrt{x-1}$

Уединим оставшийся корень:

$2x - 2 = 4\sqrt{x-1}$

Разделим обе части на 2:

$x - 1 = 2\sqrt{x-1}$

Возведем обе части в квадрат еще раз. Заметим, что так как $x \ge 1$, то обе части уравнения $x-1 \ge 0$ и $2\sqrt{x-1} \ge 0$ неотрицательны, поэтому посторонние корни на этом шаге не появятся.

$(x-1)^2 = (2\sqrt{x-1})^2$

$x^2 - 2x + 1 = 4(x-1)$

$x^2 - 2x + 1 = 4x - 4$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$). Оба корня подходят.

Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

При $x=1$: $\sqrt{3(1)+1} - \sqrt{1-1} = \sqrt{4} - \sqrt{0} = 2 - 0 = 2$. Верно.

При $x=5$: $\sqrt{3(5)+1} - \sqrt{5-1} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$. Верно.

Ответ: $1; 5$.

2) Решим уравнение $\sqrt{2x-6} + \sqrt{x+1} = 2$.

Найдем ОДЗ:

$2x-6 \ge 0 \implies x \ge 3$

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

ОДЗ уравнения: $x \ge 3$.

Рассмотрим функцию в левой части уравнения $f(x) = \sqrt{2x-6} + \sqrt{x+1}$. Эта функция является возрастающей на всей своей области определения как сумма двух возрастающих функций.

Найдем значение функции на левой границе ОДЗ, при $x=3$:

$f(3) = \sqrt{2(3)-6} + \sqrt{3+1} = \sqrt{0} + \sqrt{4} = 0 + 2 = 2$.

Мы видим, что $x=3$ является корнем уравнения. Поскольку функция $f(x)$ строго возрастает при $x > 3$, она не может принимать значение $2$ ни в какой другой точке. Следовательно, $x=3$ — единственный корень.

Ответ: $3$.

3) Решим уравнение $x - 1 + \sqrt{x-1} = 2$.

ОДЗ: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x-1}$. Тогда $t^2 = x-1$. Учитывая, что $t$ — это арифметический квадратный корень, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставим замену в уравнение:

$t^2 + t = 2$

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета:

$t_1 = 1$, $t_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 1$ подходит.

$t_2 = -2$ не подходит, так как $t$ не может быть отрицательным.

Выполним обратную замену для $t=1$:

$\sqrt{x-1} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$x-1 = 1$

$x=2$.

Найденный корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 \ge 1$).

Проверка: $2 - 1 + \sqrt{2-1} = 1 + \sqrt{1} = 1+1=2$. Верно.

Ответ: $2$.

4) Решим уравнение $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 2\sqrt{x}$.

Найдем ОДЗ:

$2x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/2$

$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$

$x \ge 0$

Общая ОДЗ: $x \ge 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3})^2 = (2\sqrt{x})^2$

$(2x+1) + 2\sqrt{(2x+1)(x-3)} + (x-3) = 4x$

$3x - 2 + 2\sqrt{2x^2 - 6x + x - 3} = 4x$

$3x - 2 + 2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = 4x$

Уединим корень:

$2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = 4x - (3x-2)$

$2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = x + 2$

Поскольку $x \ge 3$, правая часть $x+2$ всегда положительна. Возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{2x^2 - 5x - 3})^2 = (x+2)^2$

$4(2x^2 - 5x - 3) = x^2 + 4x + 4$

$8x^2 - 20x - 12 = x^2 + 4x + 4$

$7x^2 - 24x - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-24)^2 - 4(7)(-16) = 576 + 448 = 1024 = 32^2$

$x = \frac{24 \pm \sqrt{1024}}{2 \cdot 7} = \frac{24 \pm 32}{14}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{24+32}{14} = \frac{56}{14} = 4$

$x_2 = \frac{24-32}{14} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).

$x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = -4/7$ не удовлетворяет ОДЗ.

Проверим корень $x=4$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2(4)+1} + \sqrt{4-3} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3+1 = 4$

$2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$

$4=4$. Верно.

Ответ: $4$.

11.6. 1) $\sqrt{(4x+5)(3x-2)} = 4x+5$;

2) $\sqrt{(3x-1)(4x+3)} = 3x-1$;

3) $\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}$;

4) $\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x-2}$.

1) Исходное уравнение: $ \sqrt{(4x+5)(3x-2)} = 4x+5 $.

Это иррациональное уравнение вида $ \sqrt{A} = B $, которое равносильно системе:

$ \begin{cases} A = B^2 \\ B \ge 0 \end{cases} $

Применим это к нашему уравнению:

$ \begin{cases} (4x+5)(3x-2) = (4x+5)^2 \\ 4x+5 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$ (4x+5)(3x-2) - (4x+5)^2 = 0 $

Вынесем общий множитель $ (4x+5) $ за скобки:

$ (4x+5)((3x-2) - (4x+5)) = 0 $

$ (4x+5)(3x-2-4x-5) = 0 $

$ (4x+5)(-x-7) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $ 4x+5=0 \implies 4x = -5 \implies x_1 = -5/4 $.

2. $ -x-7=0 \implies -x = 7 \implies x_2 = -7 $.

Теперь проверим найденные корни по второму условию системы $ 4x+5 \ge 0 $.

Для $ x_1 = -5/4 $: $ 4(-5/4) + 5 = -5+5=0 $. Условие $ 0 \ge 0 $ выполняется, значит, корень подходит.

Для $ x_2 = -7 $: $ 4(-7) + 5 = -28+5=-23 $. Условие $ -23 \ge 0 $ не выполняется, значит, это посторонний корень.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $ -5/4 $.

2) Исходное уравнение: $ \sqrt{(3x-1)(4x+3)} = 3x-1 $.

Уравнение вида $ \sqrt{A} = B $, которое равносильно системе:

$ \begin{cases} A = B^2 \\ B \ge 0 \end{cases} $

В нашем случае:

$ \begin{cases} (3x-1)(4x+3) = (3x-1)^2 \\ 3x-1 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение:

$ (3x-1)(4x+3) - (3x-1)^2 = 0 $

$ (3x-1)((4x+3) - (3x-1)) = 0 $

$ (3x-1)(4x+3-3x+1) = 0 $

$ (3x-1)(x+4) = 0 $

Отсюда получаем два возможных корня:

1. $ 3x-1=0 \implies 3x=1 \implies x_1 = 1/3 $.

2. $ x+4=0 \implies x_2 = -4 $.

Проверим корни по условию $ 3x-1 \ge 0 $.

Для $ x_1 = 1/3 $: $ 3(1/3) - 1 = 1-1=0 $. Условие $ 0 \ge 0 $ выполняется, корень подходит.

Для $ x_2 = -4 $: $ 3(-4) - 1 = -12-1=-13 $. Условие $ -13 \ge 0 $ не выполняется, это посторонний корень.

Единственным решением является $ x=1/3 $.

Ответ: $ 1/3 $.

3) Исходное уравнение: $ \sqrt{x+1}-\sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ 9-x \ge 0 \\ 2x-12 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 9 \\ x \ge 6 \end{cases} $

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $ x \in [6, 9] $.

Перепишем уравнение в виде $ \sqrt{x+1} = \sqrt{2x-12} + \sqrt{9-x} $ и возведем обе части в квадрат:

$ (\sqrt{x+1})^2 = (\sqrt{2x-12} + \sqrt{9-x})^2 $

$ x+1 = (2x-12) + 2\sqrt{(2x-12)(9-x)} + (9-x) $

$ x+1 = x-3 + 2\sqrt{(2x-12)(9-x)} $

$ 4 = 2\sqrt{(2x-12)(9-x)} $

$ 2 = \sqrt{(2x-12)(9-x)} $

Снова возведем в квадрат обе части:

$ 4 = (2x-12)(9-x) $

$ 4 = 18x - 2x^2 - 108 + 12x $

$ 4 = -2x^2 + 30x - 108 $

$ 2x^2 - 30x + 112 = 0 $

Разделим уравнение на 2:

$ x^2 - 15x + 56 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна 15, а произведение равно 56. Корни: $ x_1 = 7, x_2 = 8 $.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($ 7 \in [6, 9] $ и $ 8 \in [6, 9] $).

Проверим корни подстановкой в исходное уравнение.

Для $ x=7 $: $ \sqrt{7+1}-\sqrt{9-7} = \sqrt{8}-\sqrt{2} = 2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2} $. Правая часть: $ \sqrt{2(7)-12} = \sqrt{14-12}=\sqrt{2} $. $ \sqrt{2}=\sqrt{2} $. Корень верный.

Для $ x=8 $: $ \sqrt{8+1}-\sqrt{9-8} = \sqrt{9}-\sqrt{1} = 3-1=2 $. Правая часть: $ \sqrt{2(8)-12} = \sqrt{16-12}=\sqrt{4}=2 $. $ 2=2 $. Корень верный.

Ответ: $ 7; 8 $.

4) Исходное уравнение: $ \sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1} = \sqrt{3x-2} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 2x-1 \ge 0 \\ 3x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1/2 \\ x \ge 2/3 \end{cases} $

Пересечение условий дает ОДЗ: $ x \ge 2/3 $.

Также, левая часть уравнения не может быть отрицательной, так как правая часть $ \sqrt{3x-2} \ge 0 $.

Значит, $ \sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} \ge 0 \implies \sqrt{x+3} \ge \sqrt{2x-1} $.

Возведя в квадрат, получаем $ x+3 \ge 2x-1 \implies 4 \ge x $.

Таким образом, ОДЗ уточняется до $ x \in [2/3, 4] $.

Перенесем $ \sqrt{2x-1} $ в правую часть и возведем в квадрат:

$ \sqrt{x+3} = \sqrt{3x-2} + \sqrt{2x-1} $

$ (\sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{3x-2} + \sqrt{2x-1})^2 $

$ x+3 = (3x-2) + 2\sqrt{(3x-2)(2x-1)} + (2x-1) $

$ x+3 = 5x-3 + 2\sqrt{(3x-2)(2x-1)} $

$ 6-4x = 2\sqrt{(3x-2)(2x-1)} $

$ 3-2x = \sqrt{6x^2-3x-4x+2} $

$ 3-2x = \sqrt{6x^2-7x+2} $

Левая часть $ 3-2x $ должна быть неотрицательной, $ 3-2x \ge 0 \implies 2x \le 3 \implies x \le 3/2 $.

Совмещая с ОДЗ, получаем $ x \in [2/3, 3/2] $.

Возведем последнее уравнение в квадрат:

$ (3-2x)^2 = 6x^2-7x+2 $

$ 9 - 12x + 4x^2 = 6x^2-7x+2 $

$ 2x^2 + 5x - 7 = 0 $

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $ D = 5^2 - 4(2)(-7) = 25+56 = 81 = 9^2 $.

$ x_1 = \frac{-5-9}{4} = -14/4 = -7/2 $.

$ x_2 = \frac{-5+9}{4} = 4/4 = 1 $.

Проверим, принадлежат ли корни отрезку $ [2/3, 3/2] $.

$ x_1 = -7/2 $ не принадлежит.

$ x_2 = 1 $ принадлежит, так как $ 2/3 \le 1 \le 3/2 $.

Выполним проверку для $ x=1 $ в исходном уравнении:

$ \sqrt{1+3} - \sqrt{2(1)-1} = \sqrt{4}-\sqrt{1} = 2-1=1 $. Правая часть: $ \sqrt{3(1)-2}=\sqrt{1}=1 $. $ 1=1 $. Корень верный.

Ответ: $ 1 $.

11.7. 1) $\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{4x-7}$;

2) $\sqrt{x}+\sqrt{x-3}=\sqrt{3(x-1)}$;

3) $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{3x-1}$;

4) $\sqrt{4x+8}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x+2}$.

1)Исходное уравнение: $\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{4x-7}$.

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 2x-3 \ge 0 \\ 4x-7 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge 1.5 \\ x \ge 1.75 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем $x \ge 1.75$.

Также, поскольку правая часть уравнения ($\sqrt{4x-7}$) неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной:

$\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x+2} \ge \sqrt{2x-3} \Rightarrow x+2 \ge 2x-3 \Rightarrow 5 \ge x$.

Итоговая ОДЗ: $x \in [1.75; 5]$.

Перенесем один из корней в правую часть и возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от одного из радикалов:

$\sqrt{x+2} = \sqrt{4x-7} + \sqrt{2x-3}$

$(\sqrt{x+2})^2 = (\sqrt{4x-7} + \sqrt{2x-3})^2$

$x+2 = (4x-7) + 2\sqrt{(4x-7)(2x-3)} + (2x-3)$

$x+2 = 6x - 10 + 2\sqrt{8x^2 - 12x - 14x + 21}$

$x+2 = 6x - 10 + 2\sqrt{8x^2 - 26x + 21}$

Уединим оставшийся корень:

$12 - 5x = 2\sqrt{8x^2 - 26x + 21}$

Левая часть должна быть неотрицательной, так как правая часть неотрицательна: $12-5x \ge 0 \Rightarrow 12 \ge 5x \Rightarrow x \le 2.4$.

С учетом ОДЗ, получаем более узкий интервал для корней: $x \in [1.75; 2.4]$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$(12 - 5x)^2 = 4(8x^2 - 26x + 21)$

$144 - 120x + 25x^2 = 32x^2 - 104x + 84$

$7x^2 + 16x - 60 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-60) = 256 + 1680 = 1936 = 44^2$

$x_1 = \frac{-16 + 44}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2$

$x_2 = \frac{-16 - 44}{2 \cdot 7} = \frac{-60}{14} = -\frac{30}{7}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in [1.75; 2.4]$).

$x_1 = 2$ — подходит.

$x_2 = -30/7 \approx -4.28$ — не подходит.

Проверим корень $x=2$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2+2}-\sqrt{2\cdot2-3} = \sqrt{4\cdot2-7} \Rightarrow \sqrt{4}-\sqrt{1} = \sqrt{1} \Rightarrow 2-1=1 \Rightarrow 1=1$. Верно.

Ответ: $2$

2)Исходное уравнение: $\sqrt{x}+\sqrt{x-3}=\sqrt{3(x-1)}$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \\ 3(x-1) \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 3 \\ x \ge 1 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x}+\sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{3x-3})^2$

$x + 2\sqrt{x(x-3)} + x-3 = 3x-3$

$2x - 3 + 2\sqrt{x^2-3x} = 3x-3$

Уединим корень:

$2\sqrt{x^2-3x} = x$

Так как $x \ge 3$ по ОДЗ, обе части уравнения неотрицательны. Снова возведем в квадрат:

$(2\sqrt{x^2-3x})^2 = x^2$

$4(x^2-3x) = x^2$

$4x^2 - 12x = x^2$

$3x^2 - 12x = 0$

$3x(x-4) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).

$x_1 = 0$ — не подходит.

$x_2 = 4$ — подходит.

Проверим корень $x=4$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{4}+\sqrt{4-3} = \sqrt{3(4-1)} \Rightarrow 2+\sqrt{1} = \sqrt{3 \cdot 3} \Rightarrow 2+1=\sqrt{9} \Rightarrow 3=3$. Верно.

Ответ: $4$

3)Исходное уравнение: $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{3x-1}$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \\ 3x-1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 1 \\ x \ge 1/3 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})^2 = (\sqrt{3x-1})^2$

$(x+1) + 2\sqrt{(x+1)(x-1)} + (x-1) = 3x-1$

$2x + 2\sqrt{x^2-1} = 3x-1$

Уединим корень:

$2\sqrt{x^2-1} = x-1$

Так как $x \ge 1$ по ОДЗ, обе части уравнения неотрицательны. Возведем в квадрат еще раз:

$(2\sqrt{x^2-1})^2 = (x-1)^2$

$4(x^2-1) = x^2 - 2x + 1$

$4x^2 - 4 = x^2 - 2x + 1$

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$

$x_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$).

$x_1 = 1$ — подходит.

$x_2 = -5/3$ — не подходит.

Проверим корень $x=1$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{1+1}+\sqrt{1-1} = \sqrt{3\cdot1-1} \Rightarrow \sqrt{2}+\sqrt{0} = \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2}=\sqrt{2}$. Верно.

Ответ: $1$

4)Исходное уравнение: $\sqrt{4x+8}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x+2}$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 4x+8 \ge 0 \\ 3x-2 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge 2/3 \\ x \ge -2 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2/3$.

Также, $\sqrt{4x+8} - \sqrt{3x-2} \ge 0 \Rightarrow 4x+8 \ge 3x-2 \Rightarrow x \ge -10$. Это условие не сужает ОДЗ.

Преобразуем первый член уравнения: $\sqrt{4x+8} = \sqrt{4(x+2)} = 2\sqrt{x+2}$.

Подставим это в уравнение:

$2\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x+2}$

Перенесем $\sqrt{x+2}$ влево, а $\sqrt{3x-2}$ вправо:

$2\sqrt{x+2}-\sqrt{x+2}=\sqrt{3x-2}$

$\sqrt{x+2}=\sqrt{3x-2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+2})^2 = (\sqrt{3x-2})^2$

$x+2 = 3x-2$

$4 = 2x$

$x = 2$

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \ge 2/3$).

$x=2$ — подходит.

Проверим корень $x=2$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{4\cdot2+8}-\sqrt{3\cdot2-2} = \sqrt{2+2} \Rightarrow \sqrt{16}-\sqrt{4} = \sqrt{4} \Rightarrow 4-2=2 \Rightarrow 2=2$. Верно.

Ответ: $2$

11.8. 1) $\sqrt{3-x} + \frac{6}{\sqrt{3-x}} = 5$;

2) $x^2 - x + \sqrt{x^2-x+9} = 3$;

3) $\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x}+3} = 2$;

4) $\sqrt{\frac{x}{x+1}} + 2\sqrt{\frac{x+1}{x}} = 3.$

1) $\sqrt{3-x} + \frac{6}{\sqrt{3-x}} = 5$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. $3-x > 0 \implies x < 3$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{3-x}$. Учитывая ОДЗ, $t > 0$. Тогда уравнение принимает вид: $t + \frac{6}{t} = 5$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$): $t^2 + 6 = 5t$ $t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 5$ $t_1 \cdot t_2 = 6$ Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

1. Если $t=2$:

$\sqrt{3-x} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$3-x = 4$

$x = 3 - 4 = -1$.

2. Если $t=3$:

$\sqrt{3-x} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$3-x = 9$

$x = 3 - 9 = -6$.

Оба корня $x=-1$ и $x=-6$ удовлетворяют ОДЗ ($x < 3$).

Ответ: -6; -1.

2) $x^2 - x + \sqrt{x^2 - x + 9} = 3$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - x + 9 \ge 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 1 - 36 = -35$. Поскольку дискриминант отрицателен, а старший коэффициент (при $x^2$) положителен, выражение $x^2 - x + 9$ всегда положительно при любых $x$. Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 - x + 9}$. Так как корень арифметический, то $t \ge 0$. Тогда $t^2 = x^2 - x + 9$, откуда $x^2 - x = t^2 - 9$.

Подставим в исходное уравнение: $(t^2 - 9) + t = 3$ $t^2 + t - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -1$ $t_1 \cdot t_2 = -12$ Корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t = 3$.

Вернемся к исходной переменной $x$: $\sqrt{x^2 - x + 9} = 3$ Возведем обе части в квадрат: $x^2 - x + 9 = 9$ $x^2 - x = 0$ $x(x - 1) = 0$ Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = 1$.

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: 0; 1.

3) $\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x}+3} = 2$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2-x \ge 0 \implies x \le 2$. Знаменатель $\sqrt{2-x}+3$ всегда положителен, так как $\sqrt{2-x} \ge 0$, значит $\sqrt{2-x}+3 \ge 3$. Итак, ОДЗ: $x \le 2$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{2-x}$. Учитывая ОДЗ, $t \ge 0$. Уравнение принимает вид: $t + \frac{4}{t+3} = 2$

Умножим обе части на $(t+3)$, так как $t+3 \neq 0$: $t(t+3) + 4 = 2(t+3)$ $t^2 + 3t + 4 = 2t + 6$ $t^2 + t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -1$ $t_1 \cdot t_2 = -2$ Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t = 1$.

Вернемся к исходной переменной $x$: $\sqrt{2-x} = 1$ Возведем обе части в квадрат: $2-x = 1$ $x = 1$.

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \le 2$).

Ответ: 1.

4) $\sqrt{\frac{x}{x+1}} + 2\sqrt{\frac{x+1}{x}} = 3$

Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны равняться нулю. $\frac{x}{x+1} \ge 0$ и $\frac{x+1}{x} \ge 0$. Также $x \ne 0$ и $x \ne -1$. Оба неравенства выполняются одновременно, когда $x$ и $x+1$ имеют одинаковый знак. 1) $x > 0$ и $x+1 > 0 \implies x > 0$. 2) $x < 0$ и $x+1 < 0 \implies x < -1$. Итак, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{\frac{x}{x+1}}$. Тогда $\sqrt{\frac{x+1}{x}} = \frac{1}{t}$. Так как $x \ne 0$, то $t > 0$. Уравнение принимает вид: $t + \frac{2}{t} = 3$

Умножим обе части на $t$ ($t \ne 0$): $t^2 + 2 = 3t$ $t^2 - 3t + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 3$ $t_1 \cdot t_2 = 2$ Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

1. Если $t=1$:

$\sqrt{\frac{x}{x+1}} = 1$

$\frac{x}{x+1} = 1$

$x = x+1$

$0 = 1$. Решений нет.

2. Если $t=2$:

$\sqrt{\frac{x}{x+1}} = 2$

$\frac{x}{x+1} = 4$

$x = 4(x+1)$

$x = 4x + 4$

$-3x = 4$

$x = -\frac{4}{3}$.

Проверим корень по ОДЗ. $x = -\frac{4}{3} \approx -1.33$. Этот корень принадлежит промежутку $(-\infty; -1)$, следовательно, удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.

11.9. 1) $\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} + \left(\frac{3}{4}x+2\right) \cdot \sqrt{9x^2-25} = 0;$

2) $\sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} + (3x+4) \cdot \sqrt{36x^2-25} = 0;$

3) $\frac{2}{\sqrt{2-x}} = \sqrt{\frac{x+6}{x+3}};$

4) $\frac{x+1}{\sqrt{3x+1}} = \sqrt{2x+1}.$

1) Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} + (\frac{3}{4}x+2) \cdot \sqrt{9x^2-25} = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться следующие условия:

1. $\frac{3x-5}{3x+5} \ge 0$

2. $3x+5 \ne 0 \Rightarrow x \ne -\frac{5}{3}$

3. $9x^2-25 \ge 0 \Rightarrow (3x-5)(3x+5) \ge 0$

Решая систему этих неравенств методом интервалов, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -5/3) \cup [5/3, +\infty)$.

Преобразуем второй корень в уравнении: $\sqrt{9x^2-25} = \sqrt{(3x-5)(3x+5)} = \sqrt{(3x+5)^2 \cdot \frac{3x-5}{3x+5}} = |3x+5|\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} + (\frac{3}{4}x+2)|3x+5|\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} = 0$.

Вынесем общий множитель $\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}}$ за скобки:

$\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} \left(1 + (\frac{3}{4}x+2)|3x+5|\right) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} = 0 \Rightarrow 3x-5=0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$. Этот корень входит в ОДЗ.

Случай 2: $1 + (\frac{3}{4}x+2)|3x+5| = 0$. Раскроем модуль в соответствии с ОДЗ.

а) При $x \ge 5/3$, имеем $3x+5 > 0$, поэтому $|3x+5|=3x+5$.

$1 + (\frac{3}{4}x+2)(3x+5) = 0$

$1 + \frac{9}{4}x^2 + \frac{15}{4}x + 6x + 10 = 0$

$\frac{9}{4}x^2 + \frac{39}{4}x + 11 = 0 \quad |\cdot 4$

$9x^2+39x+44=0$. Дискриминант $D = 39^2 - 4 \cdot 9 \cdot 44 = 1521 - 1584 = -63 < 0$. Действительных корней нет.

б) При $x < -5/3$, имеем $3x+5 < 0$, поэтому $|3x+5|=-(3x+5)$.

$1 - (\frac{3}{4}x+2)(3x+5) = 0$

$1 - (\frac{9}{4}x^2 + \frac{39}{4}x + 10) = 0$

$-\frac{9}{4}x^2 - \frac{39}{4}x - 9 = 0 \quad |\cdot (-4/3)$

$3x^2+13x+12=0$. Дискриминант $D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 169 - 144 = 25 = 5^2$.

$x_1 = \frac{-13 - 5}{6} = -3$. Корень входит в ОДЗ ($x < -5/3$).

$x_2 = \frac{-13 + 5}{6} = -\frac{4}{3}$. Корень не входит в ОДЗ, так как $-\frac{4}{3} > -\frac{5}{3}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $-3; \frac{5}{3}$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} + (3x+4) \cdot \sqrt{36x^2-25} = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $\frac{6x-5}{6x+5} \ge 0$

2. $6x+5 \ne 0 \Rightarrow x \ne -\frac{5}{6}$

3. $36x^2-25 \ge 0 \Rightarrow (6x-5)(6x+5) \ge 0$

Общая ОДЗ: $x \in (-\infty, -5/6) \cup [5/6, +\infty)$.

Преобразуем второй корень: $\sqrt{36x^2-25} = |6x+5|\sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}}$.

Подставим в уравнение и вынесем общий множитель за скобки:

$\sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} \left(1 + (3x+4)|6x+5|\right) = 0$.

Случай 1: $\sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} = 0 \Rightarrow 6x-5=0 \Rightarrow x = \frac{5}{6}$. Корень входит в ОДЗ.

Случай 2: $1 + (3x+4)|6x+5| = 0$.

а) При $x \ge 5/6$, имеем $|6x+5|=6x+5$.

$1 + (3x+4)(6x+5) = 0 \Rightarrow 1 + 18x^2 + 39x + 20 = 0 \Rightarrow 18x^2+39x+21=0 \Rightarrow 6x^2+13x+7=0$.

$D = 13^2 - 4 \cdot 6 \cdot 7 = 169 - 168 = 1$.

$x_1 = \frac{-13-1}{12} = -\frac{7}{6}$, $x_2 = \frac{-13+1}{12} = -1$. Оба корня не удовлетворяют условию $x \ge 5/6$.

б) При $x < -5/6$, имеем $|6x+5|=-(6x+5)$.

$1 - (3x+4)(6x+5) = 0 \Rightarrow 1 - (18x^2+39x+20) = 0 \Rightarrow -18x^2-39x-19=0 \Rightarrow 18x^2+39x+19=0$.

$D = 39^2 - 4 \cdot 18 \cdot 19 = 1521 - 1368 = 153$.

$x = \frac{-39 \pm \sqrt{153}}{36} = \frac{-39 \pm 3\sqrt{17}}{36} = \frac{-13 \pm \sqrt{17}}{12}$.

$x_1 = \frac{-13 + \sqrt{17}}{12}$. $\sqrt{17} \approx 4.12$, $x_1 \approx \frac{-13+4.12}{12} \approx -0.74$. Так как $-5/6 \approx -0.83$, то $x_1 > -5/6$, корень не входит в ОДЗ.

$x_2 = \frac{-13 - \sqrt{17}}{12}$. $x_2 \approx \frac{-13-4.12}{12} \approx -1.43$. $x_2 < -5/6$, корень входит в ОДЗ.

Ответ: $\frac{-13 - \sqrt{17}}{12}; \frac{5}{6}$.

3) Исходное уравнение: $\frac{2}{\sqrt{2-x}} = \sqrt{\frac{x+6}{x+3}}$.

Найдем ОДЗ:

1. $2-x > 0 \Rightarrow x < 2$

2. $\frac{x+6}{x+3} \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -6] \cup (-3, +\infty)$

Объединив условия, получим ОДЗ: $x \in (-\infty, -6] \cup (-3, 2)$.

Обе части уравнения неотрицательны в ОДЗ, поэтому можно возвести обе части в квадрат:

$\left(\frac{2}{\sqrt{2-x}}\right)^2 = \left(\sqrt{\frac{x+6}{x+3}}\right)^2$

$\frac{4}{2-x} = \frac{x+6}{x+3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$4(x+3) = (x+6)(2-x)$

$4x+12 = 2x - x^2 + 12 - 6x$

$4x+12 = -x^2 - 4x + 12$

$x^2 + 8x = 0$

$x(x+8) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1=0$ и $x_2=-8$.

Проверим их на принадлежность ОДЗ $x \in (-\infty, -6] \cup (-3, 2)$.

$x_1=0$ принадлежит интервалу $(-3, 2)$.

$x_2=-8$ принадлежит интервалу $(-\infty, -6]$.

Оба корня подходят.

Ответ: $-8; 0$.

4) Исходное уравнение: $\frac{x+1}{\sqrt{3x+1}} = \sqrt{2x+1}$.

Найдем ОДЗ:

1. $3x+1 > 0 \Rightarrow x > -1/3$

2. $2x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1/2$

3. Правая часть $\sqrt{2x+1} \ge 0$, значит, и левая часть должна быть неотрицательной. Так как знаменатель $\sqrt{3x+1} > 0$, то требуется $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.

Пересечение всех условий ($x > -1/3$, $x \ge -1/2$, $x \ge -1$) дает итоговую ОДЗ: $x > -1/3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{(x+1)^2}{3x+1} = 2x+1$

$(x+1)^2 = (2x+1)(3x+1)$

$x^2+2x+1 = 6x^2+2x+3x+1$

$x^2+2x+1 = 6x^2+5x+1$

$5x^2+3x = 0$

$x(5x+3) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1=0$ и $x_2=-3/5$.

Проверим их на принадлежность ОДЗ $x > -1/3$.

$x_1=0$. Так как $0 > -1/3$, это является корнем.

$x_2=-3/5 = -0.6$. Так как $-0.6 < -1/3$, это посторонний корень.

Ответ: $0$.