Страница 69 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10.7. Найдите допустимые значения переменной:

1) $\sqrt{\frac{x+1}{15-x}} + x;$

2) $\sqrt{\frac{x-7}{8-x}} - x;$

3) $\sqrt{\frac{x}{x^2-36}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}};$

4) $\sqrt{\frac{3}{x+2}} + \sqrt{\frac{4-x^2}{x+1}}.$

1) Область допустимых значений для выражения $\sqrt{\frac{x+1}{15-x}} + x$ определяется двумя условиями: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю. Слагаемое $x$ определено для любых действительных чисел и не накладывает дополнительных ограничений.

Таким образом, мы должны решить систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x+1}{15-x} \ge 0 \\ 15-x \neq 0\end{cases}$

Второе условие $x \neq 15$ уже учтено при решении первого неравенства, так как знаменатель не может быть равен нулю. Решим неравенство $\frac{x+1}{15-x} \ge 0$ методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$x+1=0 \Rightarrow x=-1$

$15-x=0 \Rightarrow x=15$

Отметим точки $-1$ (включительно, так как неравенство нестрогое) и $15$ (исключительно, так как это корень знаменателя) на числовой прямой и определим знаки выражения в полученных интервалах. Выражение $\frac{x+1}{15-x}$ положительно в интервале $(-1, 15)$ и равно нулю при $x=-1$.

Следовательно, допустимыми значениями переменной являются все числа из промежутка $[-1, 15)$.

Ответ: $x \in [-1, 15)$.

2) Для выражения $\sqrt{\frac{x-7}{8-x}} - x$ область допустимых значений определяется условием неотрицательности подкоренного выражения. Знаменатель также не должен быть равен нулю.

Решаем систему:

$\begin{cases} \frac{x-7}{8-x} \ge 0 \\ 8-x \neq 0\end{cases}$

Решим неравенство $\frac{x-7}{8-x} \ge 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

$x-7=0 \Rightarrow x=7$

$8-x=0 \Rightarrow x=8$

Отметим точки $7$ (включительно) и $8$ (исключительно) на числовой прямой. Выражение $\frac{x-7}{8-x}$ положительно в интервале $(7, 8)$ и равно нулю при $x=7$.

Таким образом, допустимые значения переменной принадлежат промежутку $[7, 8)$.

Ответ: $x \in [7, 8)$.

3) Выражение $\sqrt{\frac{x}{x^2-36}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}$ состоит из двух слагаемых. Область допустимых значений является пересечением областей допустимых значений для каждого слагаемого.

Для первого слагаемого $\sqrt{\frac{x}{x^2-36}}$ должно выполняться условие:

$\frac{x}{x^2-36} \ge 0 \Rightarrow \frac{x}{(x-6)(x+6)} \ge 0$.

Используем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=0$, $x=-6$, $x=6$. Точки $-6$ и $6$ исключаются. Точка $x=0$ включается. Определив знаки в интервалах, получаем, что неравенство выполняется для $x \in (-6, 0] \cup (6, \infty)$.

Для второго слагаемого $\sqrt[3]{\frac{1}{x}}$, корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения. Единственное ограничение — знаменатель дроби под корнем не должен быть равен нулю:

$x \neq 0$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $x \in (-6, 0] \cup (6, \infty)$ и $x \neq 0$. Исключая точку $x=0$ из первого множества, получаем итоговую область допустимых значений.

Ответ: $x \in (-6, 0) \cup (6, \infty)$.

4) Для выражения $\sqrt{\frac{3}{x+2}} + \sqrt{\frac{4-x^2}{x+1}}$ необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} \frac{3}{x+2} \ge 0 \\ \frac{4-x^2}{x+1} \ge 0\end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $\frac{3}{x+2} \ge 0$. Так как числитель $3$ положителен, дробь будет неотрицательной, если знаменатель строго положителен:

$x+2 > 0 \Rightarrow x > -2$.

Рассмотрим второе неравенство: $\frac{4-x^2}{x+1} \ge 0 \Rightarrow \frac{(2-x)(2+x)}{x+1} \ge 0$.

Решим его методом интервалов. Нули числителя: $x=2, x=-2$. Нуль знаменателя: $x=-1$. Определив знаки выражения в интервалах, получим, что неравенство выполняется для $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, 2]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > -2$ и $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, 2]$. Пересечение множества $x \in (-2, \infty)$ с множеством $(-\infty, -2] \cup (-1, 2]$ дает нам промежуток $(-1, 2]$.

Ответ: $x \in (-1, 2]$.

10.8. Являются ли данные числа корнями иррационального уравнения:

1) $\sqrt{6x - x^2} = x$ и $x = 0, x = -3;

2) $\sqrt{14 - 20x - x^2} = x$ и $x = 2, x = 5?

1) Для того чтобы проверить, являются ли данные числа корнями иррационального уравнения $\sqrt{6x - x^2} = x$, необходимо подставить каждое значение $x$ в уравнение и проверить, выполняется ли равенство. Также важно учитывать область определения для иррациональных уравнений.

Для уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ должны выполняться два условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $f(x) \ge 0$.

2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как арифметический квадратный корень по определению не может быть отрицательным числом: $g(x) \ge 0$.

В данном уравнении $f(x) = 6x - x^2$ и $g(x) = x$. Следовательно, должны выполняться условия: $6x - x^2 \ge 0$ и $x \ge 0$.

Проверка для $x = 0$:

Подставляем $x = 0$ в исходное уравнение:

$\sqrt{6(0) - 0^2} = 0$

$\sqrt{0} = 0$

$0 = 0$

Равенство верно. Проверим условия: $x=0 \ge 0$ (верно) и $6(0) - 0^2 = 0 \ge 0$ (верно).Значит, $x = 0$ является корнем уравнения.

Проверка для $x = -3$:

Проверим условие $x \ge 0$. Для $x = -3$ это условие не выполняется, так как $-3 < 0$. Это означает, что $x=-3$ не может быть корнем, поскольку левая часть уравнения (арифметический корень) не может быть равна отрицательному числу.

Дополнительно можно проверить подкоренное выражение: $6(-3) - (-3)^2 = -18 - 9 = -27$. Так как $-27 < 0$, выражение под корнем отрицательно, и, следовательно, левая часть уравнения не определена в области действительных чисел.

Значит, $x = -3$ не является корнем уравнения.

Ответ: $x=0$ является корнем уравнения, а $x=-3$ не является.

2) Проверим, являются ли числа $x=2$ и $x=5$ корнями уравнения $\sqrt{14 - 20x - x^2} = x$.

Как и в предыдущем пункте, должны выполняться условия: $14 - 20x - x^2 \ge 0$ и $x \ge 0$.

Проверка для $x = 2$:

Условие $x \ge 0$ выполняется, так как $2 > 0$.

Теперь проверим подкоренное выражение: $14 - 20(2) - 2^2 = 14 - 40 - 4 = -30$.

Подкоренное выражение отрицательно ($-30 < 0$), поэтому левая часть уравнения не определена в области действительных чисел.

Следовательно, $x = 2$ не является корнем уравнения.

Проверка для $x = 5$:

Условие $x \ge 0$ выполняется, так как $5 > 0$.

Проверим подкоренное выражение: $14 - 20(5) - 5^2 = 14 - 100 - 25 = -111$.

Подкоренное выражение отрицательно ($-111 < 0$), поэтому левая часть уравнения не определена в области действительных чисел.

Следовательно, $x = 5$ не является корнем уравнения.

Ответ: Ни число $2$, ни число $5$ не являются корнями данного уравнения.