Страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9.2.1) $f(x) = x^{1.4}$;

2) $f(x) = x^{-3.5}$;

3) $f(x) = x^{\pi}$;

4) $f(x) = x^{-\pi}$.

1) Для нахождения производной функции $f(x) = x^{1.4}$ используется формула производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. В данном случае показатель степени $n=1.4$.

Подставляем значение $n$ в формулу:

$f'(x) = (x^{1.4})' = 1.4 \cdot x^{1.4 - 1} = 1.4 \cdot x^{0.4}$.

Ответ: $1.4x^{0.4}$

2) Для функции $f(x) = x^{-3.5}$ применяем ту же формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. Здесь показатель степени $n=-3.5$.

Находим производную:

$f'(x) = (x^{-3.5})' = -3.5 \cdot x^{-3.5 - 1} = -3.5 \cdot x^{-4.5}$.

Ответ: $-3.5x^{-4.5}$

3) Для функции $f(x) = x^{\pi}$ правило дифференцирования степенной функции также применимо. Показатель степени является иррациональным числом $n=\pi$.

Применяем формулу:

$f'(x) = (x^{\pi})' = \pi \cdot x^{\pi - 1}$.

Ответ: $\pi x^{\pi-1}$

4) Для функции $f(x) = x^{-\pi}$ снова используем правило для степенной функции, где показатель степени $n=-\pi$.

Находим производную:

$f'(x) = (x^{-\pi})' = -\pi \cdot x^{-\pi - 1}$.

Ответ: $-\pi x^{-\pi-1}$

9.3. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$, проведенной в точке $N(a; b):$

1) $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}, N\left(\frac{1}{27}; 3\right);$

2) $f(x) = x^{-2} + x, N(1; 2);$

3) $f(x) = x^{\frac{4}{3}}, N(1; 1);$

4) $f(x) = x^{-3} + 3x^{\frac{2}{3}}, N(1; 4).$

1) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

Для функции $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$ и точки $N(\frac{1}{27}; 3)$, имеем $a = \frac{1}{27}$ и $f(a) = 3$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3} - 1} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.

Вычислим значение производной в точке $a = \frac{1}{27}$:

$f'(\frac{1}{27}) = -\frac{1}{3}(\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3}(27^{-1})^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3}(27^{\frac{4}{3}}) = -\frac{1}{3}(\sqrt[3]{27})^4 = -\frac{1}{3} \cdot 3^4 = -27$.

Подставим найденные значения $a = \frac{1}{27}$, $f(a) = 3$ и $f'(a) = -27$ в уравнение касательной:

$y = 3 + (-27)(x - \frac{1}{27})$

$y = 3 - 27x + 27 \cdot \frac{1}{27}$

$y = 3 - 27x + 1$

$y = -27x + 4$.

Ответ: $y = -27x + 4$.

2) Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

Для функции $f(x) = x^{-\frac{1}{2}} + x$ и точки $N(1; 2)$, имеем $a = 1$ и $f(a) = 2$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{2}} + x)' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} - 1} + 1 = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} + 1$.

Вычислим значение производной в точке $a = 1$:

$f'(1) = -\frac{1}{2}(1)^{-\frac{3}{2}} + 1 = -\frac{1}{2} \cdot 1 + 1 = \frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения $a = 1$, $f(a) = 2$ и $f'(a) = \frac{1}{2}$ в уравнение касательной:

$y = 2 + \frac{1}{2}(x - 1)$

$y = 2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.

3) Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

Для функции $f(x) = x^{\frac{4}{3}}$ и точки $N(1; 1)$, имеем $a = 1$ и $f(a) = 1$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^{\frac{4}{3}})' = \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3} - 1} = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}$.

Вычислим значение производной в точке $a = 1$:

$f'(1) = \frac{4}{3}(1)^{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3}$.

Подставим найденные значения $a = 1$, $f(a) = 1$ и $f'(a) = \frac{4}{3}$ в уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{4}{3}(x - 1)$

$y = 1 + \frac{4}{3}x - \frac{4}{3}$

$y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$.

Ответ: $y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$.

4) Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

Для функции $f(x) = x^{-3} + 3x^{\frac{2}{3}}$ и точки $N(1; 4)$, имеем $a = 1$ и $f(a) = 4$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^{-3} + 3x^{\frac{2}{3}})' = -3x^{-3 - 1} + 3 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3} - 1} = -3x^{-4} + 2x^{-\frac{1}{3}}$.

Вычислим значение производной в точке $a = 1$:

$f'(1) = -3(1)^{-4} + 2(1)^{-\frac{1}{3}} = -3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = -1$.

Подставим найденные значения $a = 1$, $f(a) = 4$ и $f'(a) = -1$ в уравнение касательной:

$y = 4 + (-1)(x - 1)$

$y = 4 - x + 1$

$y = -x + 5$.

Ответ: $y = -x + 5$.

9.4. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$:

1) $f(x) = x^{\frac{1}{2}}, [1; 4];$

2) $f(x) = x^{\frac{1}{3}}, [1; 8];$

3) $f(x) = x^{\frac{2}{3}}, [-8; -1];$

4) $f(x) = x^{\frac{1}{4}}, [1; 16].$

1) Для функции $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ на отрезке $[1; 4]$ найдем ее наименьшее и наибольшее значения.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке, необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная $f'(x)$ не равна нулю ни в одной точке. Она не определена в точке $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[1; 4]$. Таким образом, критических точек внутри отрезка нет.

Поскольку на всем отрезке $[1; 4]$ производная $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$, функция является строго возрастающей. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой граничной точке $x=1$, а наибольшее — в правой, $x=4$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$f_{наим} = f(1) = 1^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$.

$f_{наиб} = f(4) = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $2$.

2) Для функции $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ на отрезке $[1; 8]$ найдем ее наименьшее и наибольшее значения.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Производная $f'(x)$ не равна нулю ни в одной точке. Она не определена в точке $x=0$, которая не принадлежит отрезку $[1; 8]$. Критических точек внутри отрезка нет.

На отрезке $[1; 8]$ производная $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} > 0$, так как $x^2$ всегда положительно для $x \neq 0$. Следовательно, функция строго возрастает на данном отрезке.

Наименьшее значение достигается в точке $x=1$, а наибольшее — в точке $x=8$.

$f_{наим} = f(1) = 1^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{1} = 1$.

$f_{наиб} = f(8) = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $2$.

3) Для функции $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ на отрезке $[-8; -1]$ найдем ее наименьшее и наибольшее значения.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.

Производная $f'(x)$ не равна нулю ни в одной точке. Она не определена в точке $x=0$, которая не входит в отрезок $[-8; -1]$. Критических точек внутри отрезка нет.

Для любого $x$ из отрезка $[-8; -1]$, значение $\sqrt[3]{x}$ является отрицательным. Следовательно, производная $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} < 0$ на всем отрезке. Это означает, что функция является строго убывающей.

Наибольшее значение достигается в левой граничной точке $x=-8$, а наименьшее — в правой, $x=-1$.

$f_{наиб} = f(-8) = (-8)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{-8})^2 = (-2)^2 = 4$.

$f_{наим} = f(-1) = (-1)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{-1})^2 = (-1)^2 = 1$.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $4$.

4) Для функции $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$ на отрезке $[1; 16]$ найдем ее наименьшее и наибольшее значения.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Производная $f'(x)$ не равна нулю ни в одной точке. Она не определена в точке $x=0$, которая не входит в отрезок $[1; 16]$. Критических точек внутри отрезка нет.

На отрезке $[1; 16]$ производная $f'(x) = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} > 0$, так как корень четной степени из положительного числа положителен. Следовательно, функция строго возрастает на данном отрезке.

Наименьшее значение достигается в точке $x=1$, а наибольшее — в точке $x=16$.

$f_{наим} = f(1) = 1^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{1} = 1$.

$f_{наиб} = f(16) = 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2$.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $2$.

9.5. Напишите общий вид первообразных функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^{2\sqrt{2}}$;

2) $f(x) = -2x^{-\pi}$;

3) $f(x) = \frac{1}{4}x^{-4}$;

4) $f(x) = 0,5x^{-0,5}$.

1) Для нахождения общего вида первообразных степенной функции $f(x) = x^n$ используется формула $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования). В данном случае дана функция $f(x) = x^{2\sqrt{2}}$. Здесь показатель степени $n = 2\sqrt{2}$. Применяя формулу, получаем: $F(x) = \frac{x^{2\sqrt{2} + 1}}{2\sqrt{2} + 1} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^{2\sqrt{2} + 1}}{2\sqrt{2} + 1} + C$.

2) Для функции вида $f(x) = k \cdot x^n$ общий вид первообразных находится по формуле $F(x) = k \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае дана функция $f(x) = -2x^{-\pi}$. Здесь коэффициент $k = -2$ и показатель степени $n = -\pi$. Подставляем эти значения в формулу: $F(x) = -2 \cdot \frac{x^{-\pi + 1}}{-\pi + 1} + C = \frac{-2}{1 - \pi}x^{1-\pi} + C$. Для удобства можно изменить знак в знаменателе и перед дробью: $F(x) = \frac{2}{\pi - 1}x^{1-\pi} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{\pi - 1}x^{1-\pi} + C$.

3) Используем ту же формулу для нахождения первообразной: $F(x) = k \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Дана функция $f(x) = \frac{1}{4}x^{-4}$. Здесь коэффициент $k = \frac{1}{4}$ и показатель степени $n = -4$. Находим первообразную: $F(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-4 + 1}}{-4 + 1} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{12}x^{-3} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{12}x^{-3} + C$.

4) Снова применяем формулу $F(x) = k \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Дана функция $f(x) = 0.5x^{-0.5}$. Здесь коэффициент $k = 0.5$ и показатель степени $n = -0.5$. Находим первообразную: $F(x) = 0.5 \cdot \frac{x^{-0.5 + 1}}{-0.5 + 1} + C = 0.5 \cdot \frac{x^{0.5}}{0.5} + C = x^{0.5} + C$. Это выражение также можно записать как $F(x) = \sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = x^{0.5} + C$.

9.6. Вычислите интеграл:

1) $\int_1^8 x^{-\frac{1}{3}}dx$;

2) $\int_1^4 \frac{dx}{x^{\frac{3}{2}}}$;

3) $\int_{16}^{81} 4x^{-\frac{1}{4}}dx$;

4) $\int_1^{32} 6x^{\frac{1}{5}}dx$.

1) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$. Первообразная для степенной функции $x^n$ находится по формуле $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.$\int_1^8 x^{-\frac{1}{3}}dx = \left. \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} \right|_1^8 = \left. \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} \right|_1^8 = \left. \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} \right|_1^8 = \frac{3}{2} \cdot 8^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} \cdot 1^{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \cdot (\sqrt[3]{8})^2 - \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} \cdot 2^2 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \cdot 4 - \frac{3}{2} = 6 - \frac{3}{2} = \frac{12-3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.Ответ: $4.5$

2) Сначала преобразуем подынтегральное выражение, используя свойство степени, а затем применим формулу Ньютона-Лейбница.$\int_1^4 \frac{dx}{x^{\frac{3}{2}}} = \int_1^4 x^{-\frac{3}{2}}dx = \left. \frac{x^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{3}{2}+1} \right|_1^4 = \left. \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} \right|_1^4 = \left. -2x^{-\frac{1}{2}} \right|_1^4 = \left. -\frac{2}{\sqrt{x}} \right|_1^4 = \left(-\frac{2}{\sqrt{4}}\right) - \left(-\frac{2}{\sqrt{1}}\right) = -\frac{2}{2} - (-2) = -1 + 2 = 1$.Ответ: $1$

3) Вынесем постоянный множитель за знак интеграла и применим формулу Ньютона-Лейбница.$\int_{16}^{81} 4x^{-\frac{1}{4}}dx = 4 \int_{16}^{81} x^{-\frac{1}{4}}dx = 4 \cdot \left. \frac{x^{-\frac{1}{4}+1}}{-\frac{1}{4}+1} \right|_{16}^{81} = 4 \cdot \left. \frac{x^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{4}} \right|_{16}^{81} = 4 \cdot \frac{4}{3} \left. x^{\frac{3}{4}} \right|_{16}^{81} = \frac{16}{3} (81^{\frac{3}{4}} - 16^{\frac{3}{4}}) = \frac{16}{3} ((\sqrt[4]{81})^3 - (\sqrt[4]{16})^3) = \frac{16}{3} (3^3 - 2^3) = \frac{16}{3} (27 - 8) = \frac{16}{3} \cdot 19 = \frac{304}{3}$.Ответ: $\frac{304}{3}$

4) Вынесем постоянный множитель за знак интеграла и применим формулу Ньютона-Лейбница.$\int_1^{32} 6x^{\frac{1}{5}}dx = 6 \int_1^{32} x^{\frac{1}{5}}dx = 6 \cdot \left. \frac{x^{\frac{1}{5}+1}}{\frac{1}{5}+1} \right|_1^{32} = 6 \cdot \left. \frac{x^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}} \right|_1^{32} = 6 \cdot \frac{5}{6} \left. x^{\frac{6}{5}} \right|_1^{32} = 5 (32^{\frac{6}{5}} - 1^{\frac{6}{5}}) = 5 ((\sqrt[5]{32})^6 - 1) = 5 (2^6 - 1) = 5 (64 - 1) = 5 \cdot 63 = 315$.Ответ: $315$

9.7. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = x^{-\frac{1}{2}}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0;$

2) $y = \frac{1}{x^6}$, $x = 1$, $x = 2$, $y = 0;$

3) $y = x^{-\frac{1}{3}}$, $x = 1$, $x = 8$, $y = 0;$

4) $y = \frac{1}{x^4}$, $x = 1$, $x = 2$, $y = 0.$

1) Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями $y = x^{-\frac{1}{2}}$, $x = 1$, $x = 4$ и $y = 0$, представляет собой площадь криволинейной трапеции. Так как функция $y = x^{-\frac{1}{2}}$ неотрицательна на отрезке $[1, 4]$, площадь $S$ вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{1}^{4} x^{-\frac{1}{2}} dx$

Для вычисления интеграла найдем первообразную для функции $f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$, используя табличный интеграл для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$

По формуле Ньютона-Лейбница, $S = F(b) - F(a)$:

$S = \left. 2\sqrt{x} \right|_{1}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2$

Ответ: 2.

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^6}$, $x = 1$, $x = 2$ и $y = 0$. Представим функцию в виде $y = x^{-6}$. Функция неотрицательна на отрезке $[1, 2]$.

$S = \int_{1}^{2} x^{-6} dx$

Найдем первообразную для $f(x) = x^{-6}$:

$\int x^{-6} dx = \frac{x^{-6+1}}{-6+1} = \frac{x^{-5}}{-5} = -\frac{1}{5x^5}$

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. -\frac{1}{5x^5} \right|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{5 \cdot 2^5}\right) - \left(-\frac{1}{5 \cdot 1^5}\right) = -\frac{1}{5 \cdot 32} + \frac{1}{5} = -\frac{1}{160} + \frac{32}{160} = \frac{31}{160}$

Ответ: $\frac{31}{160}$.

3) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^{-\frac{1}{3}}$, $x = 1$, $x = 8$ и $y = 0$. Функция $y = x^{-\frac{1}{3}}$ неотрицательна на отрезке $[1, 8]$.

$S = \int_{1}^{8} x^{-\frac{1}{3}} dx$

Найдем первообразную для $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$:

$\int x^{-\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} \right|_{1}^{8} = \frac{3}{2}(8^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2}(1^{\frac{2}{3}}) = \frac{3}{2}(\sqrt[3]{8})^2 - \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}(2^2) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \cdot 4 - \frac{3}{2} = 6 - \frac{3}{2} = \frac{12-3}{2} = \frac{9}{2}$

Ответ: $\frac{9}{2}$.

4) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^4}$, $x = 1$, $x = 2$ и $y = 0$. Представим функцию в виде $y = x^{-4}$. Функция неотрицательна на отрезке $[1, 2]$.

$S = \int_{1}^{2} x^{-4} dx$

Найдем первообразную для $f(x) = x^{-4}$:

$\int x^{-4} dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} = \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3x^3}$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. -\frac{1}{3x^3} \right|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{3 \cdot 2^3}\right) - \left(-\frac{1}{3 \cdot 1^3}\right) = -\frac{1}{3 \cdot 8} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{7}{24}$

Ответ: $\frac{7}{24}$.

9.8. Найдите производную функции $y = f(x):$

1) $f(x) = x^{\sqrt{6}} + x^{2.5} + 10;$

2) $f(x) = x^{\sqrt{6}-2} - x^{-\frac{1}{8}} - 5.8;$

3) $f(x) = x^{\frac{5}{6}} + (x-2)^{\sqrt{2}};$

4) $f(x) = x^{\frac{3}{8}} - (1+x^2)^{\frac{5}{4}}.$

1) Для нахождения производной функции $f(x) = x^{\sqrt{6}} + x^{2.5} + 10$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и правилом для степенной функции. Производная суммы равна сумме производных: $f'(x) = (x^{\sqrt{6}})' + (x^{2.5})' + (10)'$.

Применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и учтем, что производная константы равна нулю.

Для первого слагаемого: $(x^{\sqrt{6}})' = \sqrt{6}x^{\sqrt{6}-1}$.

Для второго слагаемого: $(x^{2.5})' = 2.5x^{2.5-1} = 2.5x^{1.5}$.

Производная константы: $(10)' = 0$.

Складывая результаты, получаем производную исходной функции: $f'(x) = \sqrt{6}x^{\sqrt{6}-1} + 2.5x^{1.5}$.

Ответ: $f'(x) = \sqrt{6}x^{\sqrt{6}-1} + 2.5x^{1.5}$

2) Дана функция $f(x) = x^{\sqrt{5}-2} - x^{-\frac{1}{8}} - 5.8$. Найдем ее производную, дифференцируя каждое слагаемое по отдельности.

$f'(x) = (x^{\sqrt{5}-2})' - (x^{-\frac{1}{8}})' - (5.8)'$.

Используя правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$(x^{\sqrt{5}-2})' = (\sqrt{5}-2)x^{(\sqrt{5}-2)-1} = (\sqrt{5}-2)x^{\sqrt{5}-3}$.

$(x^{-\frac{1}{8}})' = -\frac{1}{8}x^{-\frac{1}{8}-1} = -\frac{1}{8}x^{-\frac{9}{8}}$.

Производная константы: $(5.8)' = 0$.

Подставляем найденные производные в общее выражение: $f'(x) = (\sqrt{5}-2)x^{\sqrt{5}-3} - (-\frac{1}{8}x^{-\frac{9}{8}}) - 0 = (\sqrt{5}-2)x^{\sqrt{5}-3} + \frac{1}{8}x^{-\frac{9}{8}}$.

Ответ: $f'(x) = (\sqrt{5}-2)x^{\sqrt{5}-3} + \frac{1}{8}x^{-\frac{9}{8}}$

3) Для функции $f(x) = x^{\frac{5}{6}} + (x-2)^{\sqrt{2}}$ производная находится как сумма производных: $f'(x) = (x^{\frac{5}{6}})' + ((x-2)^{\sqrt{2}})'$.

Производная первого слагаемого по степенному правилу: $(x^{\frac{5}{6}})' = \frac{5}{6}x^{\frac{5}{6}-1} = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}}$.

Второе слагаемое является сложной функцией. Применяем правило дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$. Здесь $g(u) = u^{\sqrt{2}}$ и $h(x) = x-2$.

$g'(u) = \sqrt{2}u^{\sqrt{2}-1}$.

$h'(x) = (x-2)' = 1$.

Следовательно, $((x-2)^{\sqrt{2}})' = \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1} \cdot 1 = \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1}$.

Итоговая производная: $f'(x) = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}} + \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}} + \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1}$

4) Дана функция $f(x) = x^{\frac{3}{8}} - (1+x^2)^{\frac{5}{4}}$. Найдем ее производную: $f'(x) = (x^{\frac{3}{8}})' - ((1+x^2)^{\frac{5}{4}})'$.

Производная первого слагаемого: $(x^{\frac{3}{8}})' = \frac{3}{8}x^{\frac{3}{8}-1} = \frac{3}{8}x^{-\frac{5}{8}}$.

Для второго слагаемого применим правило дифференцирования сложной функции. Пусть $g(u) = u^{\frac{5}{4}}$ и $h(x) = 1+x^2$.

$g'(u) = \frac{5}{4}u^{\frac{5}{4}-1} = \frac{5}{4}u^{\frac{1}{4}}$.

$h'(x) = (1+x^2)' = 2x$.

Производная второго слагаемого: $((1+x^2)^{\frac{5}{4}})' = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{5}{4}(1+x^2)^{\frac{1}{4}} \cdot 2x = \frac{5}{2}x(1+x^2)^{\frac{1}{4}}$.

Собираем все вместе: $f'(x) = \frac{3}{8}x^{-\frac{5}{8}} - \frac{5}{2}x(1+x^2)^{\frac{1}{4}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{8}x^{-\frac{5}{8}} - \frac{5}{2}x(1+x^2)^{\frac{1}{4}}$

9.9. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$, проведенной в точке $N(a; b):$

1) $f(x) = x^{\frac{1}{3}}, N\left(\frac{1}{8}; 2\right);$

2) $f(x) = x^{\frac{1}{4}} + 2x, N(1; 3);$

3) $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}, N(-1; 1);$

4) $f(x) = x^3 - 3x^{\frac{2}{3}}, N(-1; -4).$

1)Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

Для функции $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ и точки $N(\frac{1}{8}; 2)$, абсцисса точки касания $a = \frac{1}{8}$.

Вычислим ординату точки касания на графике функции: $f(a) = f(\frac{1}{8}) = (\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$. Касание происходит в точке $(\frac{1}{8}; \frac{1}{2})$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.

Найдем угловой коэффициент касательной (значение производной в точке касания): $f'(a) = f'(\frac{1}{8}) = \frac{1}{3}(\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}( (2^{-3})^{-\frac{2}{3}} ) = \frac{1}{3} \cdot 2^2 = \frac{4}{3}$.

Подставим значения $a = \frac{1}{8}$, $f(a) = \frac{1}{2}$ и $f'(a) = \frac{4}{3}$ в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2} + \frac{4}{3}(x - \frac{1}{8})$

Упростим выражение:

$y = \frac{1}{2} + \frac{4}{3}x - \frac{4}{3 \cdot 8} = \frac{1}{2} + \frac{4}{3}x - \frac{1}{6} = \frac{4}{3}x + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{3}x + \frac{2}{6} = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}$.

Ответ: $y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}$

2)Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

Для функции $f(x) = x^{\frac{1}{4}} + 2x$ и точки $N(1; 3)$, абсцисса точки касания $a = 1$.

Проверим, что точка лежит на графике: $f(1) = 1^{\frac{1}{4}} + 2(1) = 1 + 2 = 3$. Ордината $b=3$ верна.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{\frac{1}{4}} + 2x)' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} + 2 = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} + 2$.

Найдем угловой коэффициент касательной: $f'(a) = f'(1) = \frac{1}{4}(1)^{-\frac{3}{4}} + 2 = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}$.

Подставим значения $a = 1$, $f(a) = 3$ и $f'(a) = \frac{9}{4}$ в уравнение касательной:

$y = 3 + \frac{9}{4}(x - 1)$

Упростим выражение:

$y = 3 + \frac{9}{4}x - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}x + \frac{12}{4} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}x + \frac{3}{4}$.

Ответ: $y = \frac{9}{4}x + \frac{3}{4}$

3)Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

Для функции $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$ и точки $N(-1; 1)$, абсцисса точки касания $a = -1$.

Проверим, что точка лежит на графике: $f(-1) = (-1)^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{(-1)^{4/3}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{-1})^4} = \frac{1}{(-1)^4} = 1$. Ордината $b=1$ верна.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{-\frac{4}{3}})' = -\frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}-1} = -\frac{4}{3}x^{-\frac{7}{3}}$.

Найдем угловой коэффициент касательной: $f'(a) = f'(-1) = -\frac{4}{3}(-1)^{-\frac{7}{3}} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{(\sqrt[3]{-1})^7} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{(-1)^7} = -\frac{4}{3} \cdot (-1) = \frac{4}{3}$.

Подставим значения $a = -1$, $f(a) = 1$ и $f'(a) = \frac{4}{3}$ в уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{4}{3}(x - (-1))$

Упростим выражение:

$y = 1 + \frac{4}{3}(x + 1) = 1 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}x + \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$.

Ответ: $y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$

4)Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

Для функции $f(x) = x^3 - 3x^{\frac{2}{3}}$ и точки $N(-1; -4)$, абсцисса точки касания $a = -1$.

Проверим, что точка лежит на графике: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^{\frac{2}{3}} = -1 - 3(\sqrt[3]{-1})^2 = -1 - 3(-1)^2 = -1 - 3(1) = -4$. Ордината $b=-4$ верна.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^3 - 3x^{\frac{2}{3}})' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = 3x^2 - 2x^{-\frac{1}{3}}$.

Найдем угловой коэффициент касательной: $f'(a) = f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1)^{-\frac{1}{3}} = 3(1) - \frac{2}{\sqrt[3]{-1}} = 3 - \frac{2}{-1} = 3 + 2 = 5$.

Подставим значения $a = -1$, $f(a) = -4$ и $f'(a) = 5$ в уравнение касательной:

$y = -4 + 5(x - (-1))$

Упростим выражение:

$y = -4 + 5(x + 1) = -4 + 5x + 5 = 5x + 1$.

Ответ: $y = 5x + 1$