Номер 9.4, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9.4. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$:

1) $f(x) = x^{\frac{1}{2}}, [1; 4];$

2) $f(x) = x^{\frac{1}{3}}, [1; 8];$

3) $f(x) = x^{\frac{2}{3}}, [-8; -1];$

4) $f(x) = x^{\frac{1}{4}}, [1; 16].$

1) Для функции $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ на отрезке $[1; 4]$ найдем ее наименьшее и наибольшее значения.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке, необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная $f'(x)$ не равна нулю ни в одной точке. Она не определена в точке $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[1; 4]$. Таким образом, критических точек внутри отрезка нет.

Поскольку на всем отрезке $[1; 4]$ производная $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$, функция является строго возрастающей. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой граничной точке $x=1$, а наибольшее — в правой, $x=4$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$f_{наим} = f(1) = 1^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$.

$f_{наиб} = f(4) = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $2$.

2) Для функции $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ на отрезке $[1; 8]$ найдем ее наименьшее и наибольшее значения.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Производная $f'(x)$ не равна нулю ни в одной точке. Она не определена в точке $x=0$, которая не принадлежит отрезку $[1; 8]$. Критических точек внутри отрезка нет.

На отрезке $[1; 8]$ производная $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} > 0$, так как $x^2$ всегда положительно для $x \neq 0$. Следовательно, функция строго возрастает на данном отрезке.

Наименьшее значение достигается в точке $x=1$, а наибольшее — в точке $x=8$.

$f_{наим} = f(1) = 1^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{1} = 1$.

$f_{наиб} = f(8) = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $2$.

3) Для функции $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ на отрезке $[-8; -1]$ найдем ее наименьшее и наибольшее значения.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.

Производная $f'(x)$ не равна нулю ни в одной точке. Она не определена в точке $x=0$, которая не входит в отрезок $[-8; -1]$. Критических точек внутри отрезка нет.

Для любого $x$ из отрезка $[-8; -1]$, значение $\sqrt[3]{x}$ является отрицательным. Следовательно, производная $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} < 0$ на всем отрезке. Это означает, что функция является строго убывающей.

Наибольшее значение достигается в левой граничной точке $x=-8$, а наименьшее — в правой, $x=-1$.

$f_{наиб} = f(-8) = (-8)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{-8})^2 = (-2)^2 = 4$.

$f_{наим} = f(-1) = (-1)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{-1})^2 = (-1)^2 = 1$.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $4$.

4) Для функции $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$ на отрезке $[1; 16]$ найдем ее наименьшее и наибольшее значения.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Производная $f'(x)$ не равна нулю ни в одной точке. Она не определена в точке $x=0$, которая не входит в отрезок $[1; 16]$. Критических точек внутри отрезка нет.

На отрезке $[1; 16]$ производная $f'(x) = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} > 0$, так как корень четной степени из положительного числа положителен. Следовательно, функция строго возрастает на данном отрезке.

Наименьшее значение достигается в точке $x=1$, а наибольшее — в точке $x=16$.

$f_{наим} = f(1) = 1^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{1} = 1$.

$f_{наиб} = f(16) = 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2$.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $2$.