Номер 8.9, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.9. Решите систему неравенств графическим способом:

1) ${ \begin{cases} y > x^2, \\ y < x + 4; \end{cases} }$

2) ${ \begin{cases} y > -x^2, \\ y < -x; \end{cases} }$

3) ${ \begin{cases} y < x^3, \\ y > x^2; \end{cases} }$

4) ${ \begin{cases} y < x^3, \\ y > -x^4. \end{cases} }$

1) Решим систему неравенств $\begin{cases} y > x^2 \\ y < x + 4 \end{cases}$ графическим способом.

Сначала построим в одной системе координат графики функций, которые являются границами областей: параболу $y = x^2$ и прямую $y = x + 4$. Так как оба неравенства строгие (используются знаки $ > $ и $ < $), обе линии на графике будут изображены пунктиром.

1. График $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Неравенство $y > x^2$ задает множество точек, расположенных выше этой параболы (внутри нее).

2. График $y = x + 4$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки, например, $(0, 4)$ и $(-4, 0)$. Неравенство $y < x + 4$ задает множество точек, расположенных ниже этой прямой.

3. Решением системы является пересечение этих двух областей: область, которая находится одновременно и выше параболы, и ниже прямой.

Найдем точки пересечения графиков, решив систему уравнений: $\begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 4 \end{cases}$.

Приравняем правые части: $x^2 = x + 4$, что дает квадратное уравнение $x^2 - x - 4 = 0$.

Корни уравнения: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках. Искомая область — это конечная область, ограниченная снизу дугой параболы $y=x^2$ и сверху отрезком прямой $y=x+4$ между точками их пересечения.

Ответ: Множество точек плоскости, заключенное между параболой $y=x^2$ и прямой $y=x+4$. Границы области не включаются.

2) Решим систему неравенств $\begin{cases} y > -x^2 \\ y < -x \end{cases}$ графическим способом.

Построим в одной системе координат графики функций $y = -x^2$ и $y = -x$. Оба неравенства строгие, поэтому линии будут пунктирными.

1. График $y = -x^2$ — это