Номер 8.2, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.2. 1) $f(x) = x^{\pi}$;

2) $f(x) = x^{-\pi}$;

3) $f(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$;

4) $f(x) = (3x)^{\frac{1}{2}}$.

1) Для функции $f(x) = x^{\pi}$ используется правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. В данном случае показатель степени $n = \pi$.

Применяя это правило, получаем производную:

$f'(x) = (x^{\pi})' = \pi x^{\pi-1}$

Ответ: $f'(x) = \pi x^{\pi-1}$

2) Для функции $f(x) = x^{-\pi}$ также применяется правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, где показатель степени $n = -\pi$.

Производная функции будет равна:

$f'(x) = (x^{-\pi})' = -\pi x^{-\pi-1}$

Ответ: $f'(x) = -\pi x^{-\pi-1}$

3) Функцию $f(x) = (\frac{x}{2})^{\frac{1}{\pi}}$ можно упростить перед нахождением производной, используя свойство степени $(ab)^k = a^k b^k$.

$f(x) = (\frac{1}{2} \cdot x)^{\frac{1}{\pi}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{\pi}} \cdot x^{\frac{1}{\pi}}$

В этом выражении $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{\pi}}$ является постоянным коэффициентом. Используем правило дифференцирования произведения константы на функцию $(C \cdot u)' = C \cdot u'$ и правило для степенной функции:

$f'(x) = \left((\frac{1}{2})^{\frac{1}{\pi}} \cdot x^{\frac{1}{\pi}}\right)' = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x^{\frac{1}{\pi}}\right)' = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1}{\pi} x^{\frac{1}{\pi}-1}$

Упростим полученное выражение:

$f'(x) = \frac{1}{2^{1/\pi}} \cdot \frac{1}{\pi} x^{\frac{1-\pi}{\pi}} = \frac{1}{\pi \cdot 2^{1/\pi}} x^{\frac{1-\pi}{\pi}}$

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{\pi \cdot 2^{1/\pi}} x^{\frac{1-\pi}{\pi}}$

4) Для функции $f(x) = (3x)^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ также сначала применим свойство степени, чтобы упростить выражение.

$f(x) = 3^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \cdot x^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Здесь множитель $3^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ является константой. Применяя правило дифференцирования произведения константы на функцию и правило для степенной функции, находим производную:

$f'(x) = \left(3^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \cdot x^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)' = 3^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \cdot \left(x^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)' = 3^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} x^{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}$

Запишем окончательный результат:

$f'(x) = \frac{3^{1/\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} x^{\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$

Ответ: $f'(x) = \frac{3^{1/\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} x^{\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$