Номер 7.9, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7.9. Упростите:

1) $ (1 + \sqrt{\frac{a - b}{a + b}}) : (1 - \sqrt{\frac{a - b}{a + b}}); $

2) $ \left((a - b) \cdot \sqrt{\frac{a + b}{a - b}} + a - b\right)\left(\sqrt{\frac{a + b}{a - b}} - 1\right). $

1) Запишем деление в виде дроби и преобразуем его. Для этого сначала приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю $\sqrt{a+b}$:

$\left(1 + \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\right) : \left(1 - \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\right) = \frac{1 + \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}}{1 - \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}} = \frac{\frac{\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}}}{\frac{\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}}}$.

После сокращения дроби получим:

$\frac{\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b})$:

$\frac{(\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b})(\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b})}{(\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b})(\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b})} = \frac{(\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b})^2}{(\sqrt{a+b})^2 - (\sqrt{a-b})^2}$.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности квадратов:

$\frac{(a+b) + 2\sqrt{(a+b)(a-b)} + (a-b)}{(a+b) - (a-b)} = \frac{2a + 2\sqrt{a^2-b^2}}{2b} = \frac{2(a + \sqrt{a^2-b^2})}{2b} = \frac{a + \sqrt{a^2-b^2}}{b}$.

Ответ: $\frac{a + \sqrt{a^2-b^2}}{b}$.

2) В первом множителе вынесем за скобки общий множитель $(a-b)$:

$\left((a-b)\cdot\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} + a-b\right)\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}-1\right) = (a-b)\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} + 1\right)\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}-1\right)$.

Произведение второго и третьего множителей является разностью квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$:

$\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} + 1\right)\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}-1\right) = \left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}\right)^2 - 1^2 = \frac{a+b}{a-b} - 1$.

Приведем это выражение к общему знаменателю:

$\frac{a+b}{a-b} - 1 = \frac{a+b - (a-b)}{a-b} = \frac{a+b-a+b}{a-b} = \frac{2b}{a-b}$.

Теперь умножим полученный результат на первый множитель $(a-b)$:

$(a-b) \cdot \frac{2b}{a-b} = 2b$.

Ответ: $2b$.