Номер 7.4, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7.4. 1) $(\sqrt{\frac{3}{2}} - 3\sqrt{\frac{3}{8}} + 4\sqrt{1,5}) \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}}$;

2) $(\sqrt{0,75} + 3\sqrt{\frac{1}{27}} - \sqrt{6,75}) \cdot \sqrt{3}$;

3) $(\sqrt[3]{\frac{1}{6}} - \sqrt[3]{36} + \sqrt[3]{4,5}) \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$;

4) $(\sqrt[4]{\frac{125}{27}} - \sqrt[4]{375} - \frac{1}{\sqrt[4]{135}}) \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}}$.

1) Чтобы решить это выражение, раскроем скобки, умножив каждый член внутри них на $2\sqrt{\frac{2}{3}}$.

$(\sqrt{\frac{3}{2}} - 3\sqrt{\frac{3}{8}} + 4\sqrt{1,5}) \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}} - 3\sqrt{\frac{3}{8}} \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}} + 4\sqrt{1,5} \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}}$

Теперь вычислим значение каждого слагаемого по очереди, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

Первое слагаемое: $2\sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 2\sqrt{1} = 2$.

Второе слагаемое: $-3 \cdot 2\sqrt{\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3}} = -6\sqrt{\frac{6}{24}} = -6\sqrt{\frac{1}{4}} = -6 \cdot \frac{1}{2} = -3$.

Третье слагаемое, представив $1,5$ в виде дроби $\frac{3}{2}$: $4\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}} = 8\sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 8\sqrt{1} = 8$.

Сложим полученные значения: $2 - 3 + 8 = 7$.

Ответ: $7$.

2) Раскроем скобки, умножив каждый член в них на $\sqrt{3}$.

$(\sqrt{0,75} + 3\sqrt{\frac{1}{27}} - \sqrt{6,75}) \cdot \sqrt{3} = \sqrt{0,75} \cdot \sqrt{3} + 3\sqrt{\frac{1}{27}} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{6,75} \cdot \sqrt{3}$

Вычислим каждое слагаемое:

$\sqrt{0,75 \cdot 3} = \sqrt{2,25} = 1,5$.

$3\sqrt{\frac{1}{27} \cdot 3} = 3\sqrt{\frac{3}{27}} = 3\sqrt{\frac{1}{9}} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$.

$\sqrt{6,75 \cdot 3} = \sqrt{20,25} = 4,5$.

Теперь выполним сложение и вычитание полученных результатов: $1,5 + 1 - 4,5 = 2,5 - 4,5 = -2$.

Ответ: $-2$.

3) Сначала преобразуем смешанную дробь и десятичную дробь в неправильные: $3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}$ и $4,5 = \frac{9}{2}$. Затем раскроем скобки.

$(\sqrt[3]{\frac{1}{6}} - \sqrt[3]{36} + \sqrt[3]{\frac{9}{2}}) \cdot \sqrt[3]{\frac{15}{4}} = \sqrt[3]{\frac{1}{6} \cdot \frac{15}{4}} - \sqrt[3]{36 \cdot \frac{15}{4}} + \sqrt[3]{\frac{9}{2} \cdot \frac{15}{4}}$

Упростим каждое слагаемое, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

Первое слагаемое: $\sqrt[3]{\frac{15}{24}} = \sqrt[3]{\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{2}$.

Второе слагаемое: $-\sqrt[3]{\frac{36 \cdot 15}{4}} = -\sqrt[3]{9 \cdot 15} = -\sqrt[3]{135} = -\sqrt[3]{27 \cdot 5} = -3\sqrt[3]{5}$.

Третье слагаемое: $\sqrt[3]{\frac{9 \cdot 15}{2 \cdot 4}} = \sqrt[3]{\frac{135}{8}} = \frac{\sqrt[3]{135}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3\sqrt[3]{5}}{2}$.

Сложим полученные выражения: $\frac{\sqrt[3]{5}}{2} - 3\sqrt[3]{5} + \frac{3\sqrt[3]{5}}{2} = (\frac{1}{2} - 3 + \frac{3}{2})\sqrt[3]{5} = (\frac{4}{2} - 3)\sqrt[3]{5} = (2-3)\sqrt[3]{5} = -\sqrt[3]{5}$.

Ответ: $-\sqrt[3]{5}$.

4) Применим распределительный закон, умножив каждый член в скобках на $\sqrt[4]{\frac{5}{3}}$.

$(\sqrt[4]{\frac{125}{27}} - \sqrt[4]{375} - \frac{1}{\sqrt[4]{135}}) \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}} = \sqrt[4]{\frac{125}{27} \cdot \frac{5}{3}} - \sqrt[4]{375 \cdot \frac{5}{3}} - \frac{1}{\sqrt[4]{135}} \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}}$

Вычислим по очереди каждый член выражения:

Первый член: $\sqrt[4]{\frac{125 \cdot 5}{27 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\frac{625}{81}} = \frac{\sqrt[4]{5^4}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{5}{3}$.

Второй член: $-\sqrt[4]{375 \cdot \frac{5}{3}} = -\sqrt[4]{125 \cdot 5} = -\sqrt[4]{625} = -5$.

Третий член: $-\frac{\sqrt[4]{5/3}}{\sqrt[4]{135}} = -\sqrt[4]{\frac{5/3}{135}} = -\sqrt[4]{\frac{5}{3 \cdot 135}} = -\sqrt[4]{\frac{5}{405}} = -\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = -\frac{1}{3}$.

Сложим полученные результаты: $\frac{5}{3} - 5 - \frac{1}{3} = (\frac{5}{3} - \frac{1}{3}) - 5 = \frac{4}{3} - 5 = \frac{4}{3} - \frac{15}{3} = \frac{4-15}{3} = -\frac{11}{3}$.

Ответ: $-\frac{11}{3}$.