Номер 7.3, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7.3. 1) $\sqrt[3]{7-\sqrt{22}} \cdot \sqrt[3]{7+\sqrt{22}}$ ;

2) $\frac{1}{4+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4-2\sqrt{3}}$ ;

3) $\frac{3}{6-2\sqrt{6}}+\frac{3}{6+2\sqrt{6}}$ ;

4) $\sqrt{3}+2+\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ .

1)Для решения данного примера воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[3]{7-\sqrt{22}} \cdot \sqrt[3]{7+\sqrt{22}} = \sqrt[3]{(7-\sqrt{22})(7+\sqrt{22})}$

Выражение под корнем является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=7$ и $b=\sqrt{22}$.

$\sqrt[3]{7^2 - (\sqrt{22})^2} = \sqrt[3]{49 - 22} = \sqrt[3]{27}$

Вычисляем кубический корень из 27.

$\sqrt[3]{27} = 3$

Ответ: 3

2)Чтобы сложить две дроби, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение знаменателей $(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})$.

$\frac{1}{4+2\sqrt{3}} + \frac{1}{4-2\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (4-2\sqrt{3})}{(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})} + \frac{1 \cdot (4+2\sqrt{3})}{(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})}$

Сложим числители:

$\frac{4-2\sqrt{3} + 4+2\sqrt{3}}{(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})} = \frac{8}{(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})}$

Знаменатель является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=4$ и $b=2\sqrt{3}$.

$4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - (4 \cdot 3) = 16 - 12 = 4$

Подставим значение знаменателя в дробь:

$\frac{8}{4} = 2$

Ответ: 2

3)Приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей $(6-2\sqrt{6})(6+2\sqrt{6})$.

$\frac{3}{6-2\sqrt{6}} + \frac{3}{6+2\sqrt{6}} = \frac{3(6+2\sqrt{6}) + 3(6-2\sqrt{6})}{(6-2\sqrt{6})(6+2\sqrt{6})}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{18+6\sqrt{6} + 18-6\sqrt{6}}{(6-2\sqrt{6})(6+2\sqrt{6})} = \frac{36}{(6-2\sqrt{6})(6+2\sqrt{6})}$

Знаменатель является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=6$ и $b=2\sqrt{6}$.

$6^2 - (2\sqrt{6})^2 = 36 - (4 \cdot 6) = 36 - 24 = 12$

Подставим значение знаменателя в дробь:

$\frac{36}{12} = 3$

Ответ: 3

4)Упростим последнее слагаемое $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2-\sqrt{3}$.

$\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3}$

Теперь подставим полученное выражение в исходный пример:

$\sqrt{3}+2+(2-\sqrt{3})$

Сгруппируем и сложим слагаемые:

$(\sqrt{3}-\sqrt{3}) + (2+2) = 0 + 4 = 4$

Ответ: 4