Номер 7.2, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Вычислите (7.2–7.4):

7.2. 1) $3\sqrt{8}-5\sqrt{18}+12\sqrt{50}$;

2) $(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt[4]{225}$;

3) $(2\sqrt{2}-3)^2 \cdot \sqrt[4]{8}$;

4) $\sqrt[3]{5-\sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17}+5}$.

1) $3\sqrt{8}-5\sqrt{18}+12\sqrt{50}$

Для решения данного выражения необходимо упростить каждый из корней, вынеся множитель из-под знака корня.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$3 \cdot (2\sqrt{2}) - 5 \cdot (3\sqrt{2}) + 12 \cdot (5\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} - 15\sqrt{2} + 60\sqrt{2}$

Теперь приведем подобные слагаемые, так как они имеют общий множитель $\sqrt{2}$:

$(6 - 15 + 60)\sqrt{2} = (-9 + 60)\sqrt{2} = 51\sqrt{2}$

Ответ: $51\sqrt{2}$

2) $(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt[4]{225}$

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$

Затем упростим второй множитель:

$\sqrt[4]{225} = \sqrt[4]{15^2} = 15^{2/4} = 15^{1/2} = \sqrt{15}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$(8 - 2\sqrt{15}) \cdot \sqrt{15} = 8\sqrt{15} - 2\sqrt{15} \cdot \sqrt{15} = 8\sqrt{15} - 2 \cdot 15 = 8\sqrt{15} - 30$

Ответ: $8\sqrt{15} - 30$

3) $(2\sqrt{2}-3)^2 \cdot \sqrt[6]{8}$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2\sqrt{2}-3)^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = 4 \cdot 2 - 12\sqrt{2} + 9 = 8 - 12\sqrt{2} + 9 = 17 - 12\sqrt{2}$

Упростим второй множитель:

$\sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^3} = 2^{3/6} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$

Перемножим полученные выражения:

$(17 - 12\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 17\sqrt{2} - 12\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 17\sqrt{2} - 12 \cdot 2 = 17\sqrt{2} - 24$

Ответ: $17\sqrt{2} - 24$

4) $\sqrt[3]{5-\sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17}+5}$

Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{(5-\sqrt{17})(5+\sqrt{17})}$

Выражение под корнем представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(5-\sqrt{17})(5+\sqrt{17}) = 5^2 - (\sqrt{17})^2 = 25 - 17 = 8$

Подставим результат под знак корня:

$\sqrt[3]{8} = 2$

Ответ: $2$